IMSO 2006 Toán học – Tuyển chọn Đài Loan – Khám phá

**Hướng dẫn thi được in trong nguồn.** Trả lời 5 câu sau và trình bày lời giải chi tiết trên giấy trả lời. Ghi số câu hỏi trên mỗi tờ giấy. Mỗi câu được 8 điểm. Thời gian: 60 phút.

Đáp án mỗi gợi ý trong ô chữ số này là một số có hai chữ số, không bắt đầu bằng 0. Điền đầy đủ lưới, nêu thứ tự giải các gợi ý và giải thích vì sao chỉ có một nghiệm.

**Ngang:** 1. Một số chính phương; 3. Một bội của 11.

**Dọc:** 1. Một bội của 7; 2. Một số lập phương.

Chú ý $2^2+2^2=2^3$, nên tổng hai số chính phương có thể là một số lập phương; tuy nhiên hai số chính phương này bằng nhau (đều bằng 4).

(a) Tìm hai số chính phương khác nhau có tổng là một số lập phương.

(b) Chứng minh có vô số cặp số chính phương khác nhau có tổng là một số lập phương.

Có thể tìm được một số $11\ldots11$ chỉ gồm các chữ số 1 và chia hết cho 19 không?

Thực đơn căn tin trường không thay đổi và gồm 10 món khác nhau. Peter quyết định mỗi ngày ăn một bữa trưa khác, có ít nhất 1 món. Trong mỗi bữa, bạn có thể chọn bao nhiêu món tùy ý nhưng không lặp món.

(a) Peter có thể làm như vậy nhiều nhất bao nhiêu ngày?

(b) Trong khoảng thời gian đó, Peter đã ăn tổng cộng bao nhiêu lượt món?

Một dãy hình được tạo như sau.

1. Hình $S_1$ là hình vuông tô màu có cạnh 1 đơn vị.
2. Chia $S_1$ thành 9 hình vuông bằng nhau rồi bỏ bốn hình, chỉ giữ hình ở giữa và bốn góc, được $S_2$.
3. Áp dụng bước 2 cho từng hình vuông của $S_2$, được $S_3$.
4. Áp dụng bước 2 cho từng hình vuông của $S_3$, được $S_4$.

Tiếp tục như vậy.



(a) Tính diện tích và chu vi $S_3$, viết đáp số dưới dạng phân số.

(b) Tìm giá trị $k$ nhỏ nhất sao cho $S_k$ có diện tích nhỏ hơn $1/30$ và đồng thời chu vi lớn hơn 30.