IMSO 2006 Toán - Quốc tế - Khám phá

Trong một cuộc họp, các bàn hình tam giác đều được xếp thành một hàng như hình. Mỗi cạnh không ghép với bàn khác chỉ có một người ngồi.



(a) Khi ghép 20 bàn theo cách này, có thể xếp chỗ cho bao nhiêu người?

(b) Cần ít nhất bao nhiêu bàn để xếp chỗ cho 99 người trong một hàng?

(c) Nếu xếp thành năm hàng, cần ít nhất bao nhiêu bàn để xếp chỗ cho 100 người?

Ba vành tròn đồng tâm A, B, C được vẽ bên dưới. Đường kính đường tròn trong cùng là 1 đơn vị và bề rộng mỗi vành cũng là 1 đơn vị. Đặt các đường tròn đường kính 1 đơn vị vào các vành sao cho trong mỗi vành không có hai hình tròn chồng lấn. Hình vẽ minh họa hai đường tròn không chồng lấn trong mỗi vành.



(a) Nhiều nhất có thể xếp tổng cộng bao nhiêu đường tròn vào ba vành A, B, C?

(b) Nếu có sáu vành tròn đồng tâm, nhiều nhất có thể xếp bao nhiêu đường tròn vào vành ngoài cùng?

Các số nguyên dương được viết lần lượt từ 1 theo bảng dưới đây. Số 15 ở hàng $R_1$, cột $C_5$.



(a) Nếu tiếp tục quy luật, số nào ở hàng $R_7$, cột $C_7$?

(b) Số 100 nằm ở vị trí nào?

(c) Số nào nằm ngay dưới số 150?

Các hình dưới đây có 5 hình vuông trong lưới $2\times2$ và 14 hình vuông trong lưới $3\times3$.



Với các ý (a)–(c), có thể trình bày cách làm trên phiếu làm bài được phát.

(a) Có bao nhiêu hình vuông trong lưới $8\times8$?



(b) Có bao nhiêu hình vuông trong hai lưới $8\times8$ có 3 đơn vị trùng nhau, như hình dưới?



(c) Có bao nhiêu hình vuông trong hai lưới $8\times8$ có 6 đơn vị trùng nhau, như hình dưới?

Có một số người lớn và trẻ em cùng một chiếc thuyền ở một bờ sông. Mọi người đều biết chèo thuyền. Thuyền chỉ có thể chở tối đa:
- 2 người lớn; hoặc
- 2 trẻ em đi cùng 1 người lớn; hoặc
- 4 trẻ em.

Mỗi lần đi từ bờ này sang bờ kia được tính là một chuyến.



Hình minh họa do người biên soạn thêm: A là người lớn, C là trẻ em.

(a) Cần ít nhất bao nhiêu chuyến để đưa 5 người lớn và 10 trẻ em qua sông?

(b) Cần ít nhất bao nhiêu chuyến để đưa 10 người lớn và 10 trẻ em qua sông?

(c) Cần ít nhất bao nhiêu chuyến để đưa 20 người lớn và 20 trẻ em qua sông?

Trên giấy ô vuông, vẽ đa giác bằng cách nối các điểm lưới kề nhau theo phương ngang, dọc hoặc chéo. Độ dài mỗi cạnh đa giác không quá $\sqrt2$ đơn vị. Hình dưới có một tam giác, các tứ giác, ngũ giác và một lục giác được vẽ theo cách đó.



Dùng cùng phương pháp:

(a) Vẽ càng nhiều càng tốt các lục giác không bằng nhau, không kể lục giác mẫu đã cho.

(b) Vẽ càng nhiều càng tốt các thất giác không bằng nhau.

(c) Diện tích lớn nhất và nhỏ nhất có thể của các thất giác là bao nhiêu?