IMSO 2006 — Toán quốc tế — Tự luận

Cho $a$, $b$, $c$ là các chữ số. Nếu $\overline{85a}-\overline{2b7}=\overline{c64}$ như hình dưới, hãy tìm $a+b+c$.

Chiều dài một hình chữ nhật tăng $25\%$. Để giữ nguyên diện tích, phải giảm chiều rộng bao nhiêu phần trăm?

Một tờ giấy hình vuông $4\times4$ có một lỗ vuông $1\times1$ như hình dưới. Hãy vẽ cách cắt tờ giấy thành 5 miếng bằng nhau.

Tổng số cây trong hai khu rừng P và Q là 560. Sau khi chặt $\frac37$ số cây ở rừng P và 100 cây ở rừng Q, tỉ số số cây còn lại ở P so với Q là $1:4$. Tìm số cây ban đầu trong rừng Q.

Trong một hộp có một số viên bi, trong đó $\frac58$ là bi vàng. Trong số bi còn lại, $\frac14$ là bi xanh, phần còn lại là bi đỏ. Số bi vàng nhiều hơn số bi đỏ 220 viên. Hỏi trong hộp có bao nhiêu viên bi?

Adi và Budi đi từ thị trấn X đến thị trấn Y. Adi đi với vận tốc $100\,\mathrm{km/h}$, Budi đi với vận tốc $90\,\mathrm{km/h}$. Hai người khởi hành cùng lúc, Adi đến sớm hơn Budi 12 phút. Tính khoảng cách từ X đến Y.

Một loại đồ uống chứa $5\%$ sô-cô-la nguyên chất. Nếu thêm 5 lít sữa vào 20 lít đồ uống này, hãy tính tỉ lệ phần trăm sô-cô-la trong hỗn hợp.

Bóng của một tòa nhà dài 33 mét. Một cột cao 2 mét đứng giữa tòa nhà và điểm cuối bóng của tòa nhà. Khoảng cách từ cột đến điểm cuối bóng là 3 mét. Bóng tòa nhà phủ toàn bộ bóng của cột. Hỏi chiều cao nhỏ nhất có thể của tòa nhà là bao nhiêu?

Một lớp có hơn 30 học sinh. Số học sinh nam lớn hơn 4 và nhỏ hơn 12. Số học sinh nữ lớn hơn 17 và nhỏ hơn 26. Có bao nhiêu cặp số học sinh nam và nữ khác nhau thỏa mãn các điều kiện này?

Điền mỗi số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ vào một ô khác nhau trong hình sau, sao cho hai số không được ở hai ô có ít nhất một đỉnh chung nếu:

i. chúng là hai số liên tiếp, hoặc

ii. cả hai đều lớn hơn 1 và một số là bội của số kia.

Hai bạn Dudi và Gani chạy qua lại giữa hai điểm A và B với vận tốc không đổi, quay lại ngay khi đến đầu đoạn. Vận tốc Dudi bằng $1\frac12$ lần vận tốc Gani. Ban đầu Dudi chạy từ A đến B, Gani chạy từ B đến A, và cùng xuất phát một lúc. Lần gặp đầu tiên cách B 800 mét. Lần gặp thứ hai cách A bao nhiêu mét?

Hình dưới được tạo bởi ba hình vuông có cạnh lần lượt $3\,\mathrm{cm}$, $5\,\mathrm{cm}$ và $7\,\mathrm{cm}$. Tính diện tích tam giác được tô màu.

Ghép ba hình vuông theo quy tắc sau. Hai hình vuông được nối với nhau khi một cạnh của hình này trùng với một cạnh của hình kia trên toàn bộ độ dài hoặc đúng một nửa độ dài cạnh.

Xem các ví dụ ở hình dưới. Ta coi Hình 1 và Hình 2 là khác nhau, còn Hình 1 và Hình 3 là như nhau. Hãy vẽ tất cả các hình khác nhau có thể tạo được.