Câu hỏi 17
(POL 1) (IMO 5) Cho $\mathcal F$ là tập khác rỗng gồm các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ có dạng $f(x)=ax+b$, trong đó $a$, $b$ là các số thực và $a\ne0$. Giả sử $\mathcal F$ thỏa mãn:
(1) Nếu $f,g\in\mathcal F$ thì $g\circ f\in\mathcal F$, trong đó $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$.
(2) Nếu $f\in\mathcal F$ và $f(x)=ax+b$ thì hàm ngược $f^{-1}$ của $f$ thuộc $\mathcal F$ ($f^{-1}(x)=(x-b)/a$).
(3) Không có hàm nào dạng $f(x)=x+c$, với $c\ne0$, thuộc $\mathcal F$.
Chứng minh tồn tại $x_0\in\mathbb R$ sao cho $f(x_0)=x_0$ với mọi $f\in\mathcal F$.
(1) Nếu $f,g\in\mathcal F$ thì $g\circ f\in\mathcal F$, trong đó $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$.
(2) Nếu $f\in\mathcal F$ và $f(x)=ax+b$ thì hàm ngược $f^{-1}$ của $f$ thuộc $\mathcal F$ ($f^{-1}(x)=(x-b)/a$).
(3) Không có hàm nào dạng $f(x)=x+c$, với $c\ne0$, thuộc $\mathcal F$.
Chứng minh tồn tại $x_0\in\mathbb R$ sao cho $f(x_0)=x_0$ với mọi $f\in\mathcal F$.