Các biểu thức $A = 1 \times 2$ $+ 3 \times 4$ $+ 5 \times 6$ $+ \cdots$ $+ 37 \times 38 + 39$ và $B = 1$ $+ 2 \times 3$ $+ 4 \times 5$ $+ \cdots$ $+ 36 \times 37$ $+ 38 \times 39$ thu được bằng cách viết các toán tử nhân và cộng theo kiểu xen kẽ giữa các số nguyên liên tiếp. Tìm hiệu dương giữa các số nguyên $A$ và $B.$
Chín đại biểu tham dự Hội nghị Hợp tác Kinh tế bao gồm $2$ quan chức từ Mexico, $3$ quan chức từ Canada và $4$ quan chức từ Hoa Kỳ. Trong phiên khai mạc, 3 đại biểu đã ngủ gật. Giả sử rằng ba tà vẹt được xác định ngẫu nhiên, xác suất có chính xác hai trong số các tà vẹt đến từ cùng một quốc gia là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Điểm $B$ nằm trên đoạn thẳng $\overline{AC}$ với $AB = 16$ và $BC = 4.$ Điểm $D$ và $E$ nằm trên cùng một phía của đường thẳng $AC$ tạo thành các tam giác đều $\triangle ABD$ và $\triangle BCE.$ Đặt $M$ là trung điểm của $\overline{AE},$ và $N$ là trung điểm của $\overline{CD}.$ diện tích của $\triangle BMN$ là $x.$ Tìm $x^2.$
Trong ngăn kéo, Sandy có $5$ đôi tất, mỗi đôi có một màu khác nhau. Vào Thứ Hai, Sandy chọn ngẫu nhiên hai chiếc tất riêng lẻ từ $10$ tất trong ngăn kéo. Vào Thứ Ba, Sandy chọn ngẫu nhiên $2$ trong số $8$ tất còn lại và vào Thứ Tư, chọn ngẫu nhiên hai trong số $6$ tất còn lại. xác suất mà Thứ Tư là ngày đầu tiên Sandy chọn tất phù hợp là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Các điểm $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ và $E$ cách đều nhau trên một cung nhỏ của đường tròn. Các điểm $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ và $A$ nằm cách đều nhau trên một cung nhỏ của đường tròn thứ hai có tâm $C$ như minh họa trong hình bên dưới. Góc $\angle ABD$ lớn hơn $\angle AHG$ bởi $12^\circ.$ Tìm số đo độ của $\angle BAG.$
Trong sơ đồ bên dưới, $ABCD$ là hình vuông. Điểm $E$ là trung điểm của $\overline{AD}.$ Điểm $F$ và $G$ lần lượt nằm trên $\overline{CE},$ và $H$ và $J$ lần lượt nằm trên $\overline{AB}$ và $\overline{BC},$ nên $FGHJ$ đó là một hình vuông. Điểm $K$ và $L$ lần lượt nằm trên $\overline{GH},$ và $M$ và $N$ nằm trên $\overline{AD}$ và $\overline{AB},$ sao cho $KLMN$ là hình vuông. diện tích của $KLMN$ là $99.$ Tìm diện tích của $FGHJ.$
Đặt $S$ là tập hợp tất cả các bộ ba số nguyên có thứ tự $(a_1, a_2, a_3)$ với $1 \le a_1,$ $a_2,$ $a_3 \le 10.$ Mỗi bộ ba có thứ tự trong $S$ tạo ra một chuỗi theo quy tắc $a_n = a_{n-1} \cdot |a_{n-2} - a_{n-3}|$ cho $n \ge 4.$ Tìm số lượng các chuỗi như vậy mà $a_n = 0$ đối với một số $n.$
Cho $f(x)$ là đa thức bậc ba với các hệ số thực thỏa mãn $$
\begin{aligned} |f(1)| = |f(2)| &= |f(3)| \\ &= |f(5)| = |f(6)| \\ &= |f(7)| = 12. \end{aligned}
$$ Tìm $|f(0)|.$
Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh nguyên dương với $AB = AC.$ Giả sử $I$ là giao điểm của các đường phân giác của $\angle B$ và $\angle C.$ Giả sử $BI = 8.$ Tìm giá trị nhỏ nhất có thể chu vi của $\triangle ABC.$
Xem xét tất cả các tập hợp con phần tử $1000$ của tập hợp $\{1, 2, 3, \ldots, 2015\}.$ Từ mỗi tập hợp con như vậy, hãy chọn phần tử nhỏ nhất. Số học trung bình cộng của tất cả các phần tử nhỏ nhất này là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Với mỗi số nguyên $n \ge 2,$ đặt $A(n)$ là diện tích của vùng trong mặt phẳng tọa độ được xác định bởi các bất đẳng thức $1 \le x \lt n$ và $0 \le y \le x\lfloor\sqrt{x}\rfloor,$ trong đó $\lfloor\sqrt{x}\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt{x}.$ Tìm số giá trị của $n$ với $2 \le n \le 1000$ trong đó $A(n)$ là số nguyên.
Một khối gỗ có hình trụ tròn bên phải có bán kính $6$ và chiều cao $8,$ và toàn bộ bề mặt của nó được sơn màu xanh lam. Các điểm $A$ và $B$ được chọn trên cạnh của một trong các mặt tròn của hình trụ sao cho cung $\overset{\frown}{AB}$ trên mặt đó có số đo $120^\circ.$ Khối sau đó được cắt làm đôi dọc theo mặt phẳng đi qua điểm $A,$ điểm $B,$ và tâm của hình trụ, để lộ một mặt phẳng, không sơn mặt trên mỗi nửa. diện tích của một trong những mặt không được sơn này là $a\cdot\pi + b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$
