AIME II năm 2015

Đặt $N$ là số nguyên dương nhỏ nhất có cả $22$ nhỏ hơn một số nguyên phần trăm và lớn hơn $16$ phần trăm so với số nguyên khác. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Trong một trường học mới $40$ phần trăm học sinh là sinh viên năm nhất, $30$ phần trăm là sinh viên năm hai, $20$ phần trăm là sinh viên năm cuối và $10$ phần trăm là sinh viên năm cuối. Tất cả sinh viên năm nhất được yêu cầu học tiếng Latinh và $80$ phần trăm sinh viên năm hai, $50$ phần trăm sinh viên năm cuối và $20$ phần trăm sinh viên năm cuối chọn học tiếng Latinh. xác suất mà một sinh viên Latinh được chọn ngẫu nhiên là sinh viên năm hai là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho $17$ có các chữ số có tổng bằng $17.$ Tìm $m.$

Trong một hình cân hình thang, các đáy song song có độ dài $\log 3$ và $\log 192,$ và độ cao tới các đáy này có độ dài $\log 16.$ chu vi của hình thang có thể được viết dưới dạng $\log 2^p 3^q,$ trong đó $p$ và $q$ là số nguyên dương. Tìm $p + q.$

Hai ô vuông đơn vị được chọn ngẫu nhiên mà không thay thế từ lưới $n \times n$ gồm các ô vuông đơn vị. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho xác suất mà hai hình vuông được chọn nằm cạnh nhau theo chiều ngang hoặc chiều dọc nhỏ hơn $\frac{1}{2015}.$

Steve nói với Jon, "Tôi đang nghĩ về một đa thức có gốc đều là số nguyên dương. Đa thức này có dạng $P(x) = 2x^3 - 2ax^2$ $+ (a^2 - 81)x - c$ với một số số nguyên dương $a$ và $c.$ Bạn có thể cho tôi biết giá trị của $a$ và $c?$"

Sau một hồi tính toán, Jon nói: “Có nhiều hơn một đa thức như vậy”.

Steve nói, "Bạn nói đúng. Đây là giá trị của $a.$" Anh ấy viết ra một số nguyên dương và hỏi, "Bạn có thể cho tôi biết giá trị của $c?$"

Jon nói: “Vẫn còn hai giá trị có thể có của $c.$”

Tìm tổng của hai giá trị có thể có của $c.$

Tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 12,$ $BC = 25,$ và $CA = 17.$ Hình chữ nhật $PQRS$ có đỉnh $P$ trên $\overline{AB},$ đỉnh $Q$ trên $\overline{AC},$ và các đỉnh $R$ và $S$ trên $\overline{BC}.$ Xét về độ dài cạnh $PQ = w,$ thì diện tích của $PQRS$ có thể được biểu thị dưới dạng đa thức bậc hai $$
\text{Area}(PQRS) = \alpha w - \beta \cdot w^2.
$$ Khi đó hệ số $\beta = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $a$ và $b$ là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{ab + 1}{a + b} \lt \frac{3}{2}.$ Giá trị tối đa có thể có của $\frac{a^3 b^3 + 1}{a^3 + b^3}$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$

Một thùng hình trụ có bán kính $4$ feet và chiều cao $10$ feet chứa đầy nước. Một khối lập phương đặc có chiều dài cạnh $8$ feet được đặt vào thùng sao cho đường chéo của khối lập phương thẳng đứng. Do đó, thể tích lượng nước bị dịch chuyển là $v$ feet khối. Tìm $v^2.$

Gọi một hoán vị $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ của các số nguyên $1,$ $2,$ $\ldots,$ $n$ *gần như tăng* if $a_k \le a_{k+1} + 2$ cho mỗi $1 \le k \le n - 1.$ Ví dụ: $53421$ và $14253$ là các hoán vị gần như tăng dần của các số nguyên $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ nhưng $45123$ thì không. Tìm số hoán vị gần như tăng dần của các số nguyên $1,$ $2,$ $\ldots,$ $7.$

Đường tròn ngoại tiếp nhọn $\triangle ABC$ có tâm $O.$ Đường thẳng đi qua điểm $O$ vuông góc với $\overline{OB}$ cắt các đường thẳng $AB$ và $BC$ tại $P$ và $Q,$ tương ứng. Ngoài ra $AB = 5,$ $BC = 4,$ $BQ = 4.5,$ và $BP = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Có thể có $2^{10} = 1024$ chuỗi chữ cái $10$ trong đó mỗi chữ cái là A hoặc B. Tìm số chuỗi không có nhiều hơn $3$ chữ cái liền kề giống hệt nhau.

Xác định chuỗi $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ theo $a_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k),$ trong đó $k$ biểu thị số đo radian. Tìm chỉ số của số hạng thứ $100$mà $a_n \lt 0.$

Cho $x$ và $y$ là các số thực thỏa mãn $x^4 y^5 + y^4 x^5 = 810$ và $x^3 y^6 + y^3 x^6 = 945.$ Đánh giá $2x^3 + (xy)^3 + 2y^3.$

Các đường tròn $\mathcal{P}$ và $\mathcal{Q}$ lần lượt có bán kính $1$ và $4,$ và tiếp tuyến ngoài tại điểm $A.$ Điểm $B$ nằm trên $\mathcal{P}$ và điểm $C$ nằm trên $\mathcal{Q}$ sao cho đường thẳng $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn. Một đường thẳng $\ell$ đến $A$ cắt $\mathcal{P}$ lần nữa tại $D$ và cắt $\mathcal{Q}$ lần nữa tại $E.$ Điểm $B$ và $C$ nằm trên cùng một phía của $\ell,$ và diện tích của $\triangle DBA$ và $\triangle ACE$ bằng nhau. diện tích chung này là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$