Nhiều tiểu bang sử dụng một chuỗi gồm ba chữ cái, theo sau là một chuỗi ba chữ số làm mẫu biển số xe tiêu chuẩn của họ. Cho rằng mỗi cách sắp xếp ba chữ cái có ba chữ số đều có khả năng như nhau, xác suất mà biển số xe như vậy sẽ chứa ít nhất một bảng màu (một cách sắp xếp ba chữ cái hoặc một cách sắp xếp ba chữ số đọc từ trái sang phải giống như đọc từ phải sang trái) là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Sơ đồ hiển thị 20 vòng tròn bằng nhau được sắp xếp thành ba hàng và được bao bọc trong một hình chữ nhật. Các vòng tròn tiếp xúc với nhau và với các cạnh của hình chữ nhật như trong hình. Tỷ lệ giữa chiều dài hơn của hình chữ nhật với chiều ngắn hơn có thể được viết là $\frac{1}{2}\left(\sqrt{p} - q\right),$ trong đó $p$ và $q$ là số nguyên dương. Tìm $p + q.$
Jane $25$ tuổi. Dick lớn tuổi hơn Jane. Trong $n$ năm, trong đó $n$ là số nguyên dương, tuổi của Dick và tuổi của Jane đều sẽ là số có hai chữ số và sẽ có tính chất là tuổi của Jane có được bằng cách hoán đổi các chữ số của tuổi Dick. Gọi $d$ là tuổi của Dick hiện nay. Có thể có bao nhiêu cặp số nguyên dương theo thứ tự $(d, n)$?
Xét dãy được xác định bởi $a_k = \frac{1}{k^2 + k}$ cho $k \ge 1.$ Cho rằng $a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} = \frac{1}{29},$ cho các số nguyên dương $m$ và $n$ với $m \lt n,$ tìm $m + n.$
Đặt $A_1,$ $A_2,$ $A_3,$ $\ldots,$ $A_{12}$ là các đỉnh của một hình mười hai cạnh đều. Có bao nhiêu hình vuông phân biệt trong mặt phẳng của hình mười hai giác có ít nhất hai đỉnh trong tập hợp $\{A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}\}?$
Các lời giải cho hệ phương trình $$
\log_{225} x + \log_{64} y = 4
$$ $$
\log_x 225 - \log_y 64 = 1
$$ là $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2).$ Tìm $\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right).$
Khai triển nhị thức hợp lệ cho số mũ không phải là số nguyên. Nghĩa là, đối với tất cả các số thực $x,$ $y,$ và $r$ với $|x| \gt |y|,$ $$
\begin{aligned} &(x + y)^r \\ &= x^r + r x^{r-1} y \\ &{}+ \frac{r(r - 1)}{2!}\,x^{r-2} y^2 \\ &{}+ \frac{r(r - 1)(r - 2)}{3!}\,x^{r-3} y^3 \\ &{}+ \cdots \end{aligned}
$$ Ba chữ số đầu tiên ở bên phải dấu thập phân trong biểu diễn thập phân của $\left(10^{2002} + 1\right)^{\frac{10}{7}}?$ là gì?
Harold, Tanya và Ulysses vẽ một hàng rào cọc rất dài.
• Harold bắt đầu với picket đầu tiên và sơn mỗi picket thứ $h$;
• Tanya bắt đầu với cột thứ hai và sơn mọi cột thứ $t$; và
• Ulysses bắt đầu với bộ chọn thứ ba và sơn mỗi bộ chọn thứ $u$.
Gọi số nguyên dương $100h + 10t + u$ *có thể vẽ được* khi bộ ba $(h, t, u)$ số nguyên dương dẫn đến mỗi picket được sơn chính xác một lần. Tìm tổng của tất cả các số nguyên có thể vẽ được.
Trong sơ đồ bên dưới, góc $ABC$ là góc vuông. Điểm $D$ nằm trên $\overline{BC},$ và $\overline{AD}$ chia đôi góc $CAB.$ Điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên $\overline{AB}$ và $\overline{AC},$, sao cho $AE = 3$ và $AF = 10.$ Cho rằng $EB = 9$ và $FC = 27,$ tìm số nguyên gần nhất với diện tích của tứ giác $DCFG.$
Giả sử $ABCD$ và $BCFG$ là hai mặt của khối lập phương có $AB = 12.$ Một chùm ánh sáng phát ra từ đỉnh $A$ và phản xạ khỏi mặt $BCFG$ tại điểm $P,$ là $7$ đơn vị từ $\overline{BG}$ và $5$ đơn vị từ $\overline{BC}.$ Chùm tia tiếp tục bị phản xạ khỏi các mặt của khối lập phương. Độ dài của đường đi ánh sáng từ lúc nó rời khỏi điểm $A$ cho đến khi nó chạm đến đỉnh của khối lập phương được cho bởi $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Đặt $F(z) = \frac{z + i}{z - i}$ cho mọi số phức $z \ne i,$ và đặt $z_n = F(z_{n-1})$ cho mọi số nguyên dương $n.$ Cho rằng $z_0 = \frac{1}{137} + i$ và $z_{2002} = a + bi,$ trong đó $a$ và $b$ là các số thực, hãy tìm $a + b.$
Trong tam giác $ABC,$ các đường trung tuyến $\overline{AD}$ và $\overline{CE}$ lần lượt có độ dài $18$ và $27,$ và $AB = 24.$ Kéo dài $\overline{CE}$ để cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $F.$ diện tích của tam giác $AFB$ là $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Một tập hợp $\mathcal{S}$ gồm các số nguyên dương riêng biệt có thuộc tính sau: với mọi số nguyên $x$ trong $\mathcal{S},$ số học trung bình cộng của tập hợp các giá trị thu được bằng cách xóa $x$ khỏi $\mathcal{S}$ là một số nguyên. Cho rằng $1$ thuộc về $\mathcal{S}$ và $2002$ là phần tử lớn nhất của $\mathcal{S},$ thì số phần tử lớn nhất mà $\mathcal{S}$ có thể có là bao nhiêu?
Khối đa diện $ABCDEFG$ có sáu mặt. Mặt $ABCD$ là hình vuông có $AB = 12;$ mặt $ABFG$ là hình thang với $\overline{AB}$ song song với $\overline{GF},$ $BF = AG = 8,$ và $GF = 6;$ và mặt $CDE$ có $CE = DE = 14.$ Ba mặt còn lại là $ADEG,$ $BCEF,$ và $EFG.$ Khoảng cách từ $E$ đến mặt $ABCD$ là $12.$ Cho rằng $EG^2 = p - q\sqrt{r},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số nguyên dương và $r$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $p + q + r.$
