Người ta cho rằng $\log_{6} a + \log_{6} b + \log_{6} c = 6,$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương tạo thành cấp số nhân và $b - a$ là bình phương của một số nguyên. Tìm $a + b + c.$
Các khối sân hiên là đơn vị hình lục giác đều $1$ ở một bên được sử dụng để phác thảo một khu vườn bằng cách đặt các khối cạnh nhau với $n$ ở mỗi bên. Sơ đồ chỉ ra đường đi của các khối xung quanh khu vườn khi $n = 5.$
Nếu $n = 202,$ thì diện tích của khu vườn được bao quanh bởi con đường, không bao gồm chính con đường đó, là $m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ đơn vị vuông, trong đó $m$ là một số nguyên dương. Tìm số dư khi $m$ được chia cho $1000.$
Được biết, với mọi số nguyên dương $k,$ $$
\begin{aligned} &1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 \\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \end{aligned}
$$ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ là bội số của $200.$
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ mà phương trình $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ không có nghiệm nguyên cho $n.$ (Ký hiệu $\lfloor x \rfloor$ có nghĩa là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)
Đặt $S$ là tập hợp $\{1, 2, 3, \ldots, 10\}.$ Đặt $n$ là số tập hợp gồm hai tập con rời rạc không trống của $S.$ (*Các tập hợp rời* được định nghĩa là các tập hợp không có phần tử chung.) Tìm số dư thu được khi chia $n$ cho $1000.$
Trong khi tìm sin của một góc nhất định, một giáo sư đãng trí đã không nhận thấy rằng máy tính của mình không ở chế độ góc chính xác. Anh thật may mắn khi nhận được câu trả lời đúng. Hai giá trị thực dương nhỏ nhất của $x$ mà sin của $x$ độ giống với sin của $x$ radian là $\frac{m\pi}{n - \pi}$ và $\frac{p\pi}{q + \pi},$ trong đó $m,$ $n,$ $p,$ và $q$ là số nguyên dương. Tìm $m + n + p + q.$
Hai chuỗi hình học vô hạn, thực, riêng biệt, mỗi chuỗi có tổng là $1$ và có cùng số hạng thứ hai. Số hạng thứ ba của một trong các chuỗi là $\frac{1}{8},$ và số hạng thứ hai của cả hai chuỗi có thể được viết dưới dạng $\frac{\sqrt{m} - n}{p},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương và $m$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $100m + 10n + p.$
Một cầu thủ bóng rổ có hằng số xác suất là $0.4$ thực hiện bất kỳ cú đánh nào, không phụ thuộc vào các cú đánh trước đó. Gọi $a_n$ là tỷ lệ số cú sút được thực hiện trên số cú sút được thực hiện sau $n$ cú sút. xác suất mà $a_{10} = 0.4$ và $a_n \le 0.4$ cho tất cả $n$ sao cho $1 \le n \le 9$ được cho là $\frac{p^a q^b r}{\left(s^c\right)},$ trong đó $p,$ $q,$ $r,$ và $s$ là số nguyên tố và $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương. Tìm $(p + q + r + s)(a + b + c).$
Trong tam giác $ABC,$ điểm $D$ nằm trên $\overline{BC}$ với $CD = 2$ và $DB = 5,$ điểm $E$ nằm trên $\overline{AC}$ với $CE = 1$ và $EA = 3,$ $AB = 8,$ và $\overline{AD}$ và $\overline{BE}$ cắt nhau tại $P.$ Điểm $Q$ và $R$ nằm trên $\overline{AB}$ sao cho $\overline{PQ}$ song song với $\overline{CA}$ và $\overline{PR}$ song song với $\overline{CB}.$ Người ta cho rằng tỉ số của diện tích của tam giác $PQR$ với diện tích của tam giác $ABC$ là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
chu vi của tam giác $APM$ là $152,$ và góc $PAM$ là góc vuông. Một đường tròn bán kính $19$ có tâm $O$ trên $\overline{AP}$ được vẽ sao cho nó tiếp xúc với $\overline{AM}$ và $\overline{PM}.$ Cho rằng $OP = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố, tìm $m + n.$
Các đường tròn $C_1$ và $C_2$ cắt nhau tại hai điểm, một trong số đó là $(9, 6),$ và tích bán kính của chúng là $68.$ Trục $x$ và đường thẳng $y = mx,$ trong đó $m \gt 0,$ tiếp tuyến với cả hai đường tròn. Người ta cho rằng $m$ có thể được viết dưới dạng $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương, $b$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào và $a$ và $c$ tương đối nguyên tố. Tìm $a + b + c.$
