MathNet 2021 — Phần 05

Tính số cách điền vào mỗi ô của bảng vuông $8\times8$ một trong các chữ $H,M,T$ sao cho mọi hình vuông $2\times2$ trong bảng đều chứa các chữ $H,M,M,T$ theo một thứ tự nào đó.

Cho $f$ là đa thức bậc ba có hệ số cao nhất bằng $1$, thỏa mãn $f(x)+f(-x)=0$ với mọi số thực $x$. Với mỗi số thực $y$, gọi $g(y)$ là số nghiệm thực phân biệt $x$ của phương trình $f(f(x))=y$. Giả sử tập các giá trị của $g(y)$ khi $y$ chạy qua mọi số thực đúng bằng $\{1,5,9\}$. Tính tổng tất cả các giá trị có thể có của $f(10)$.

Cho $S$ là một tập hợp các số nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Với mỗi số nguyên dương $n$, ít nhất một trong các số $n,2n,\ldots,100n$ thuộc $S$.
- Nếu $a_1,a_2,b_1,b_2$ là các số nguyên dương sao cho $\gcd(a_1a_2,b_1b_2)=1$ và $a_1b_1,a_2b_2\in S$, thì $a_2b_1,a_1b_2\in S$.
Giả sử $S$ có mật độ tự nhiên $r$. Tính giá trị nhỏ nhất có thể của $\lfloor 10^5r\rfloor$.

Chú ý: $S$ có mật độ tự nhiên $r$ nếu $\frac1n|S\cap\{1,\ldots,n\}|$ tiến tới $r$ khi $n$ tiến tới $\infty$.

Ba mặt $\mathcal X,\mathcal Y,\mathcal Z$ của một hình lập phương cạnh $1$ có chung một đỉnh. Giả sử hình chiếu vuông góc của $\mathcal X,\mathcal Y,\mathcal Z$ lên một mặt phẳng cố định $\mathcal P$ có diện tích lần lượt là $x,y,z$. Nếu $x:y:z=6:10:15$, thì $x+y+z$ viết được dưới dạng $\frac mn$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương và $\gcd(m,n)=1$. Tìm $100m+n$.

Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là một dãy các số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho $a_1+a_2+\cdots+a_n=2021$ và tích $a_1a_2\cdots a_n$ lớn nhất có thể. Đặt $M=a_1a_2\cdots a_n$. Tính số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho $2^k\mid M$.

Đề xuất bởi: Sheldon Kieren Tan.

Với mỗi số nguyên dương $1\le m\le10$, Krit chọn ngẫu nhiên đều một số nguyên $0\le a_m\lt m$. Gọi $p$ là xác suất tồn tại một số nguyên $n$ sao cho $n\equiv a_m\pmod m$ với mọi $m$. Nếu $p$ viết được dưới dạng $\frac ab$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tính $100a+b$.

Cho $n$ là một số nguyên dương. Biết rằng $n^n$ có $861$ ước dương, hãy tìm $n$.

Tính số cách gán nhãn $f:\{0,1\}^3\rightarrow\{0,1,\ldots,7\}$ cho các đỉnh của hình lập phương cạnh $1$ sao cho
$$
|f(v_i)-f(v_j)|\ge d(v_i,v_j)^2
$$
với mọi cặp đỉnh $v_i,v_j$ của hình lập phương, trong đó $d(v_i,v_j)$ là khoảng cách Euclid giữa $v_i$ và $v_j$.

Alice rút ba lá bài từ một bộ bài chuẩn gồm $52$ lá, có hoàn lại sau mỗi lần rút. Các lá Át đến $10$ lần lượt có giá trị từ $1$ đến $10$ điểm; các lá hình già (K), đầm (Q) và bồi (J) đều có giá trị $10$ điểm. Xác suất tổng điểm của ba lá được rút là bội của $10$ viết được dưới dạng $\frac mn$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương và $\gcd(m,n)=1$. Tìm $100m+n$.

Tìm số cách sắp xếp chín số
$$
1,12,123,1234,\ldots,123456789
$$
thành một hàng sao cho hai số đứng cạnh nhau luôn nguyên tố cùng nhau.

Một giải đấu giữa $2021$ đội đã được xếp hạng diễn ra trong $2020$ vòng. Ở mỗi vòng, chọn ngẫu nhiên đều hai đội trong tất cả các đội còn lại để thi đấu với nhau. Đội có thứ hạng tốt hơn luôn thắng, còn đội có thứ hạng kém hơn bị loại. Gọi $p$ là xác suất đội có thứ hạng tốt thứ hai bị loại ở vòng cuối cùng. Tính $\lfloor2021p\rfloor$.

Trong tam giác $ABC$, $\angle A=2\angle C$. Biết $AC=6$, $BC=8$ và $AB=\sqrt a-b$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương. Tính $100a+b$.

Trên một bàn cờ $k\times k$, chọn ngẫu nhiên đều một tập $S$ gồm $25$ ô tạo thành một hình vuông $5\times5$. Xác suất số ô đen trong $S$ nhiều hơn số ô trắng là $48\%$. Tìm $k$.

Hai đường tròn $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ lần lượt có bán kính $1$ và $2$, cùng có tâm tại gốc tọa độ. Một hạt được đặt tại $(2,0)$ và bắn về phía $\Gamma_1$. Khi chạm $\Gamma_1$, hạt nảy khỏi đường tròn rồi đi về phía $\Gamma_2$. Hạt tiếp tục nảy qua lại giữa hai đường tròn theo cách này.

Nếu hạt được bắn theo hướng tạo với trục $x$ một góc nhọn $\theta$ ở phía trên trục, nó sẽ nảy $11$ lần trước khi trở lại $(2,0)$ lần đầu tiên. Nếu $\cot\theta=a-\sqrt b$ với $a,b$ là các số nguyên dương, hãy tính $100a+b$.

Tứ diện $ABCD$ có các độ dài cạnh $AB=6$, $BD=6\sqrt2$, $BC=10$, $AC=8$, $CD=10$ và $AD=6$. Khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt $BCD$ viết được dưới dạng $\frac{a\sqrt b}{c}$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên dương, $b$ không chia hết cho bình phương của số nguyên tố nào và $\gcd(a,c)=1$. Tìm $100a+10b+c$.

Cho hàm số $f:\mathbb Z^2\rightarrow\mathbb Z$ sao cho, với mọi số nguyên dương $a,b$,
$$
f(a,b)=\begin{cases}
b&\text{nếu }a\gt b,\\
f(2a,b)&\text{nếu }a\le b\text{ và }f(2a,b)\lt a,\\
f(2a,b)-a&\text{trong các trường hợp còn lại.}
\end{cases}
$$
Tính $f(1000,3^{2021})$.

Một bộ đếm bắt đầu ở $0$. Sau đó, mỗi giây, bộ đếm hoặc tăng thêm $1$, hoặc trở về $0$, với hai khả năng có xác suất bằng nhau. Kỳ vọng giá trị của bộ đếm sau mười giây viết được dưới dạng $\frac mn$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương và $\gcd(m,n)=1$. Tìm $100m+n$.

Cho bát giác $ABCDEFGH$ có tám cạnh bằng nhau thỏa mãn $\angle A\cong\angle C\cong\angle E\cong\angle G$ và $\angle B\cong\angle D\cong\angle F\cong\angle H$. Diện tích $ABCDEFGH$ bằng ba lần diện tích $ACEG$. Biết $\sin B=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương và $\operatorname{gcd}(m,n)=1$. Tính $100m+n$.

Tam giác $ABC$ có $AB=19$, $BC=20$ và $CA=21$. Chọn $X$ trên cạnh $AB$ và $Y$ trên cạnh $AC$ sao cho $AY=XY$ và $XY$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Biết độ dài $AX=\frac ab$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $100a+b$.

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn
$$\frac1x+y+z=x+\frac1y+z=x+y+\frac1z=3.$$
Tổng tất cả các giá trị có thể có của $x+y+z$ viết được dưới dạng $\frac mn$, trong đó $m,n$ là các số nguyên dương và $\operatorname{gcd}(m,n)=1$. Tính $100m+n$.