(SWE 2) Hai con tàu đi trên biển với tốc độ không đổi và hướng cố định. Biết rằng lúc 9:00 khoảng cách giữa chúng là 20 dặm; lúc 9:35 là 15 dặm; và lúc 9:55 là 13 dặm. Vào thời điểm nào hai tàu gần nhau nhất, và khoảng cách đó là bao nhiêu?
(ROM 5), IMO 1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam giác có độ dài các cạnh là các số tự nhiên liên tiếp và một góc có số đo gấp đôi số đo của một góc khác.
(BUL 2), IMO 3. Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng hệ phương trình
$$\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=x_2,\\ax_2^2+bx_2+c=x_3,\\\cdots\\ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\\ax_n^2+bx_n+c=x_1.\end{cases}$$
có nghiệm thực duy nhất khi và chỉ khi $(b-1)^2-4ac=0$.
(BUL 5) Gọi $h_n$ là trung đoạn (khoảng cách từ tâm đến một cạnh) của đa giác đều $n$ cạnh $(n\ge3)$ nội tiếp đường tròn bán kính $r$. Chứng minh bất đẳng thức
$$(n+1)h_{n+1}-nh_n>r.$$
Cũng chứng minh rằng nếu thay $r$ ở vế phải bằng một số lớn hơn thì bất đẳng thức không còn đúng với mọi $n\ge3$.
(HUN 1) Nếu $a_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ là các số thực khác không đôi một phân biệt, chứng minh phương trình
$$\frac{a_1}{a_1-x}+\frac{a_2}{a_2-x}+\cdots+\frac{a_n}{a_n-x}=n$$
có ít nhất $n-1$ nghiệm thực.
(HUN 5) Chứng minh rằng tích bán kính ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác cho trước không vượt quá $\frac{3\sqrt3}{8}$ lần tích độ dài các cạnh tam giác. Khi nào xảy ra dấu bằng?
(ROM 2) Cho một đường thẳng có hướng $\Delta$ và một điểm cố định $A$ trên đó. Xét tất cả các hình thang $ABCD$ có đáy $AB$ nằm trên $\Delta$ theo hướng dương. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tìm quỹ tích các đỉnh $B,C,D$ của những hình thang thỏa mãn:
(i) $|AB|\le a$ ($a$ cố định);
(ii) $|EF|=l$ ($l$ cố định);
(iii) tổng bình phương các cạnh không song song của hình thang là hằng số.
Nhận xét. Các hằng số được chọn sao cho tồn tại những hình thang như vậy.
(ROM 3) Cho tam giác $ABC$ bất kỳ và điểm $M$ nằm trong nó. Gọi $d_a,d_b,d_c$ là khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $BC,CA,AB$; $a,b,c$ là độ dài các cạnh tương ứng, và $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh bất đẳng thức
$$ab d_a d_b+bc d_b d_c+ca d_c d_a\le\frac{4S^2}{3}.$$
Chứng minh vế trái đạt giá trị lớn nhất khi $M$ là trọng tâm tam giác.
(ROM 6) Tìm tất cả các nghiệm $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ của phương trình
$$1+\frac1{x_1}+\frac{x_1+1}{x_1x_2}+\frac{(x_1+1)(x_2+1)}{x_1x_2x_3}+\cdots+\frac{(x_1+1)\cdots(x_{n-1}+1)}{x_1x_2\cdots x_n}=0.$$
(POL 1) Nếu $a$ và $b$ là các số thực dương bất kỳ và $m$ là số nguyên, chứng minh rằng
$$\left(1+\frac ab\right)^m+\left(1+\frac ba\right)^m\ge2^{m+1}.$$
(POL 5) Cho hai tam giác bằng nhau $A_1A_2A_3$ và $B_1B_2B_3$ $(A_iA_k=B_iB_k)$, chứng minh tồn tại một mặt phẳng sao cho các hình chiếu vuông góc của hai tam giác lên đó bằng nhau và cùng hướng.
(BUL 5) Một đường thẳng trong mặt phẳng của tam giác $ABC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $X$ và $Y$ sao cho $BX=CY$. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $XAY$.
(GBR 1), IMO 6. Ký hiệu $[x]$ là phần nguyên của $x$, tức số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Nếu $n$ là số nguyên dương, hãy biểu diễn tổng sau thành một hàm đơn giản của $n$:
$$\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n+2}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n+2^i}{2^{i+1}}\right\rfloor+\cdots.$$
(GBR 3) Đa thức $p(x)=a_0x^k+a_1x^{k-1}+\cdots+a_k$ có hệ số nguyên được gọi là chia hết cho số nguyên $m$ nếu $p(x)$ chia hết cho $m$ với mọi số nguyên $x$. Chứng minh rằng nếu $p(x)$ chia hết cho $m$ thì $k!a_0$ cũng chia hết cho $m$. Cũng chứng minh rằng nếu $a_0,k,m$ là các số nguyên không âm sao cho $k!a_0$ chia hết cho $m$ thì tồn tại đa thức $p(x)=a_0x^k+\cdots+a_k$ chia hết cho $m$.
(GBR 4) Cho điểm $O$ và các độ dài $x,y,z$, chứng minh tồn tại tam giác đều $ABC$ sao cho $OA=x,OB=y,OC=z$ khi và chỉ khi $x+y\ge z,y+z\ge x,z+x\ge y$ (các điểm $O,A,B,C$ đồng phẳng).
(ITA 2) Cho một tam giác nhọn $ABC$, hãy dựng trong không gian một tam giác đều $A'B'C'$ sao cho các đường thẳng $AA',BB',CC'$ đi qua một điểm cho trước.
(ITA 5) Cho một điểm cố định trên đường tròn bán kính $1$. Đi từ điểm đó dọc theo đường tròn theo chiều dương với các độ dài cung $0,1,2,\ldots$, ta lần lượt được những điểm có hoành độ $n=0,1,2,\ldots$. Cần lấy bao nhiêu điểm trong số đó để bảo đảm có hai điểm cách nhau một khoảng nhỏ hơn $1/5$?
(CZS 1) Cho $n$ $(n\ge3)$ điểm trong không gian sao cho mỗi ba điểm tạo thành một tam giác có một góc lớn hơn hoặc bằng $120^\circ$. Chứng minh có thể ký hiệu các điểm là $A_1,A_2,\ldots,A_n$ sao cho với mọi $i,j,k$, $1\le i\lt j\lt k\le n$, góc $A_iA_jA_k$ lớn hơn hoặc bằng $120^\circ$.