Cho $n$ là một số nguyên dương. Cho $s: \mathbb{N} \to \{1, \dots, n\}$ là một hàm số sao cho $n$ chia hết $m - s(m)$ với mọi số nguyên dương $m$. Cho dãy số $a_0, a_1, a_2, \dots$ thỏa mãn $a_0 = 0$ và
$$
a_k = a_{k-1} + s(k) \text{ với mọi } k \ge 1.
$$
Tìm tất cả $n$ sao cho dãy số này chứa mọi số dư modulo $(n+1)^2$.
Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn với $AC \gt AB$ và đường tròn nội tiếp $\omega$. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA$ và $AB$ lần lượt tại $D, E$ và $F$. Cho $X$ và $Y$ là các điểm nằm ngoài $\triangle ABC$ thỏa mãn
$$
\angle BDX = \angle XEA = \angle YDC = \angle AFY = 45^\circ.
$$
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp $\triangle AXY$, $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$ cùng đi qua một điểm $Z \neq A$.
Tại một bữa tiệc của IMOTC, mọi người có tuổi đôi một khác nhau. Một số cặp người là bạn của nhau và quan hệ bạn bè là hai chiều. Gọi một người là *junior* nếu người đó nhỏ tuổi hơn tất cả bạn của mình, và là *senior* nếu người đó lớn tuổi hơn tất cả bạn của mình. Một người không có bạn nào được coi vừa là *junior* vừa là *senior*. Một dãy gồm những người đôi một khác nhau $A_1, \dots, A_m$ được gọi là *photogenic* nếu:
* $A_1$ là junior,
* $A_m$ là senior, và
* $A_i$ và $A_{i+1}$ là bạn của nhau, và $A_{i+1}$ lớn tuổi hơn $A_i$ với mọi $1 \le i \le m-1$.
Cho $k$ là một số nguyên dương sao cho với mọi dãy *photogenic* $A_1, \dots, A_m$, $m$ không chia hết cho $k$. Chứng minh rằng có thể chia những người trong bữa tiệc thành $k$ nhóm sao cho không có hai người nào trong cùng một nhóm là bạn của nhau.
Cho $n$ và $a$ là các số nguyên dương thỏa mãn
* $a^{2^n} - a$ chia hết cho $n$,
* $\sum_{k=1}^{n} k^{2024} a^{2^k}$ không chia hết cho $n$.
Chứng minh rằng $n$ có một ước nguyên tố *nhỏ hơn* $2024$.
Có $n \ge 3$ hạt trên một đường tròn, nằm tại các đỉnh của một $n$-giác đều. Tất cả các hạt chuyển động trên đường tròn với cùng một tốc độ không đổi. Một hạt chuyển động theo chiều kim đồng hồ, còn tất cả các hạt khác chuyển động ngược chiều kim đồng hồ. Khi các hạt va chạm, tức là chúng cùng ở một điểm, tất cả các hạt đó đổi chiều chuyển động và tiếp tục với tốc độ như trước.
Gọi $s$ là số va chạm nhỏ nhất mà sau đó tất cả các hạt trở về vị trí ban đầu của chúng. Tìm $s$.
Một con thỏ đang ngủ nằm ở phần trong của một $2024$-giác lồi. Một thợ săn chọn ba đỉnh của đa giác và đặt một cái bẫy phủ phần trong và biên của miền tam giác xác định bởi ba đỉnh đó. Tìm số lần nhỏ nhất anh ta cần làm như vậy để chắc chắn bẫy được con thỏ.
Cho $P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ là một đa thức hệ số hữu tỉ có bậc $d \ge 2$. Chứng minh rằng không tồn tại dãy vô hạn các số hữu tỉ $a_0, a_1, \dots$ sao cho $P(a_i) = a_{i-1} + i$ với mọi $i \ge 1$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$, tâm đường tròn nội tiếp $I$, và gọi $M$ là điểm chính giữa cung lớn $BAC$. Giả sử đường thẳng qua $A$ vuông góc với đoạn $BC$ cắt các đường thẳng $BI$, $CI$ và $MI$ lần lượt tại $P$, $Q$ và $K$. Chứng minh rằng đường trung tuyến kẻ từ $A$ của tam giác $AIK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PIQ$.
Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $a, b, c$, ta có
$$
f(a + b + c)f(ab + bc + ca) - f(a)f(b)f(c) = f(a + b)f(b + c)f(c + a).
$$
Cho $r \gt 0$ là một số thực. Ta gọi một đa thức monic (hệ số cao nhất bằng 1) với hệ số phức là $r$-tốt nếu mọi nghiệm của nó đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá $r$. Ta gọi một đa thức monic với hệ số phức là *nguyên thủy* nếu mọi hệ số của nó đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1.
a. Chứng minh rằng mọi đa thức 1-tốt đều có một bội là đa thức nguyên thủy.
b. Nếu $r \gt 1$, chứng minh rằng tồn tại một đa thức $r$-tốt không có bội nào là đa thức nguyên thủy.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \lt AC$, và gọi $O, H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác. Các điểm $Z, Y$ lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $AB, AC$ sao cho
$$
\angle ZOB = \angle YOC = 90^\circ.
$$
Đường thẳng qua $H$ vuông góc với đường thẳng $YZ$ cắt các đường thẳng $BO$ và $CO$ lần lượt tại $Q, R$. Các tiếp tuyến tại $Y$ và $Z$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AYZ$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng bốn điểm $Q, R, O, T$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác $ABC$ với $CA = CB$. Điểm $E$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $\angle ECB = 90^\circ$. Đường thẳng qua $E$ song song với $CB$ cắt $CA$ tại $F$ và cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EGB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ECF$.
Tất cả các ô của một bảng $2024 \times 2024$ đều được tô màu trắng. Trong mỗi lượt, Mohit có thể chọn một hàng hoặc một cột mà mọi ô của nó đều màu trắng, chọn đúng $1000$ ô trong hàng hoặc cột đó, và tô tất cả các ô này màu đỏ. Tìm số ô lớn nhất mà Mohit có thể tô màu đỏ sau một số hữu hạn lượt.
Cho tam giác $ABC$ với $CA = CB$. Điểm $E$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $\angle ECB = 90^\circ$. Đường thẳng qua $E$ song song với $CB$ cắt $CA$ tại $F$ và cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EGB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ECF$.
Tất cả các ô của một bảng $2024 \times 2024$ đều được tô màu trắng. Trong mỗi lượt, Mohit có thể chọn một hàng hoặc một cột mà mọi ô của nó đều màu trắng, chọn đúng $1000$ ô trong hàng hoặc cột đó, và tô tất cả các ô này màu đỏ. Tìm số ô lớn nhất mà Mohit có thể tô màu đỏ sau một số hữu hạn lượt.
Cho tam giác $ABC$ với $CA = CB$. Điểm $E$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ sao cho $\angle ECB = 90^\circ$. Đường thẳng qua $E$ song song với $CB$ cắt $CA$ tại $F$ và cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $EGB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ECF$.
Tất cả các ô của một bảng $2024 \times 2024$ đều được tô màu trắng. Trong mỗi lượt, Mohit có thể chọn một hàng hoặc một cột mà mọi ô của nó đều màu trắng, chọn đúng $1000$ ô trong hàng hoặc cột đó, và tô tất cả các ô này màu đỏ. Tìm số ô lớn nhất mà Mohit có thể tô màu đỏ sau một số hữu hạn lượt.
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a, b, c$ là các số nguyên sao cho các số nguyên
$$
a^{2023} + b^{2023}, \quad b^{2024} + c^{2024}, \quad c^{2025} + a^{2025}
$$
đều chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $p$ chia hết mỗi số $a, b$ và $c$.