Câu hỏi 18
a) cho mỗi số nguyên $a$ không chia hết cho $7$, hãy để $N(a)$ biểu thị ít nhất trong số tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $49$ chia $a^n - 1$. Đối với mỗi số nguyên dương $N$, hãy cho $A_N := \{a \in \mathbb{Z} : 0 \lt a \lt 49 \text{ và } N(a) = N\}$. Chứng minh rằng $$
\begin{aligned}
|A_1| &= |A_2| = 1, & |A_3| &= |A_6| = 2, \\
|A_7| &= |A_{14}| = 6, & |A_{21}| &= |A_{42}| = 12
\end{aligned}
$$ và $A_N = \emptyset$ cho tất cả các giá trị khác của $N$.
b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $2009$ chia $a^n - 1$ cho tất cả các số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau $2009$.
\begin{aligned}
|A_1| &= |A_2| = 1, & |A_3| &= |A_6| = 2, \\
|A_7| &= |A_{14}| = 6, & |A_{21}| &= |A_{42}| = 12
\end{aligned}
$$ và $A_N = \emptyset$ cho tất cả các giá trị khác của $N$.
b) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $2009$ chia $a^n - 1$ cho tất cả các số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau $2009$.