MathNet 1997 — Phần 01

Đặt $F_n$ là dãy Fibonacci $F_1 = F_2 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Đặt $V_n = \sqrt{F_n^2 + F_{n+2}^2}$. Chứng minh $V_n$, $V_{n+1}$, $V_{n+2}$ là các cạnh của một tam giác có diện tích $1/2$.

$f$ là một bản đồ trên mặt phẳng sao cho hai điểm cách nhau một khoảng $1$ luôn được đưa đến hai điểm cách nhau một khoảng $1$. Chứng minh rằng với bất kỳ $d$ nào, $f$ lấy hai điểm cách nhau $d$ đến hai điểm cách nhau $d$.

$A$ là tập hợp các số nguyên không âm $n$. Chúng ta nói nó có thuộc tính $P$ nếu tập $\{x + y \mid x, y \in A\}$ có các phần tử $\frac{n(n+1)}{2}$. Chúng tôi gọi phần tử lớn nhất của $A$ trừ phần tử nhỏ nhất là *đường kính* của $A$. Đặt $f(n)$ là đường kính nhỏ nhất của bất kỳ bộ $A$ nào có thuộc tính $P$. Chứng minh rằng $\frac{n^2}{4} \le f(n) \lt n^3$.
(Nếu bạn vẫn còn thời gian, hãy cố gắng cải thiện các giới hạn này. Ví dụ: hãy thử chứng minh rằng $f(p) \lt 2p^2$ với mọi số nguyên tố $p$.)

Cho $c$ là số hữu tỉ. Cho $f(x) = x^2 + c$. Xác định $f^{(0)}(x) = x$, $f^{(n+1)}(x) = f(f^{(n)}(x))$. Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn nhiều số hữu tỉ $x$ sao cho dãy $f^{(0)}(x), f^{(1)}(x), f^{(2)}(x), \dots$ chỉ nhận hữu hạn nhiều giá trị.

Cho $R$ là tập hợp các số thực. Chứng minh rằng không có hàm $f, g: R \to R$ nào thỏa mãn $g(f(x)) = x^3$ và $f(g(x)) = x^2$ cho mọi $x$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số thực lớn hơn $1$. Chứng minh rằng tồn tại hàm số $f, g: S \to S$ thỏa mãn điều kiện trên.

Cho một dãy $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ gồm các số nguyên dương trong đó mỗi số nguyên dương xuất hiện đúng một lần. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $\ell$ và $m$, $1\lt \ell\lt m$ sao cho $a_{1}+a_{m}=2 a_{\ell}$.

Các thế giới trong Worlds' Sphere được đánh số $1, 2, 3, \ldots$ và được kết nối sao cho với bất kỳ số nguyên $n \geqslant 1$ nào, Pháp sư Gandalf có thể di chuyển theo cả hai hướng giữa bất kỳ thế giới nào có số $n, 2n$ và $3n+1$. Bắt đầu chuyến du hành từ một thế giới tùy ý, liệu Gandalf có thể đến được mọi thế giới khác không?

Mười hai thẻ nằm liên tiếp. Các quân bài có ba loại: hai mặt trắng, hai mặt đen, hoặc một mặt trắng và một mặt đen. Ban đầu, chín trong số mười hai lá bài có mặt đen hướng lên. Các quân bài $1$-$6$ được lật và sau đó bốn trong số mười hai quân bài có mặt đen ngửa. Bây giờ các lá bài $4$-$9$ đã được lật và sáu lá bài có mặt đen hướng lên. Cuối cùng, các lá bài $1$-$3$ và $10$-$12$ được lật lên, sau đó năm lá bài có mặt đen ngửa. Có bao nhiêu thẻ mỗi loại?

Tìm tất cả các bộ ba $(a, b, c)$ của các số nguyên không âm thỏa mãn $a \geqslant b \geqslant c$ và $1 \cdot a^{3} + 9 \cdot b^{2} + 9 \cdot c + 7 = 1997$.

Xác định tất cả các hàm $f$ từ số thực đến số thực, khác với hàm số 0, sao cho $f(x) f(y) = f(x-y)$ cho mọi số thực $x$ và $y$.

Trong tam giác nhọn $ABC$, các đường phân giác của $\angle A$, $\angle B$ và $\angle C$ lại cắt đường tròn ngoại tiếp lần lượt là $A_{1}$, $B_{1}$ và $C_{1}$. Đặt $M$ là giao điểm của $AB$ và $B_{1}C_{1}$, và đặt $N$ là giao điểm của $BC$ và $A_{1}B_{1}$. Chứng minh $MN$ đi qua tâm nội tam giác $ABC$.

Đặt $x_{1}=1$ và $x_{n+1}=x_{n}+\left\lfloor\frac{x_{n}}{n}\right\rfloor+2$ cho $n=1,2,3, \ldots$, trong đó $\lfloor x\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất không lớn hơn $x$. Xác định $x_{1997}$.

a) Chứng minh sự tồn tại của hai tập vô hạn $A$ và $B$, không nhất thiết phải rời nhau, của các số nguyên không âm sao cho mỗi số nguyên không âm $n$ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng $n=a+b$ với $a \in A, b \in B$.


b) Chứng minh rằng với mỗi cặp $(A, B)$ như vậy, $A$ hoặc $B$ chỉ chứa bội số của một số nguyên $k\gt 1$.

Trên hai đường thẳng song song, các điểm phân biệt $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots$ lần lượt là $B_{1}$, $B_{2}, B_{3}, \ldots$ được đánh dấu sao cho $|A_{i}A_{i+1}|=1$ và $|B_{i}B_{i+1}|=2$ cho $i=1,2, \ldots$ (xem Hình). Với điều kiện $\angle A_{1}A_{2}B_{1}=\alpha$, hãy tìm tổng vô hạn $\angle A_{1}B_{1}A_{2}+\angle A_{2}B_{2}A_{3}+\angle A_{3}B_{3}A_{4}+\ldots$

Chứng minh rằng trong mọi dãy 79 số nguyên dương liên tiếp viết trong hệ thập phân đều có một số nguyên dương có tổng các chữ số chia hết cho 13.

Nếu chúng ta thêm $1996$ và $1997$, trước tiên chúng ta thêm các chữ số đơn vị $6$ và $7$. Lấy $13$, chúng ta ghi $3$ và “mang” $1$ sang cột tiếp theo. Vì vậy, chúng tôi thực hiện một thực hiện. Tiếp tục, chúng ta thấy rằng chúng ta phải thực hiện tổng cộng ba lần mang:
$$
\begin{array}{r}
111 \\
1996 \\
+1997 \\\hline
3993
\end{array}
$$
Có tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho việc thêm $1996 \cdot k$ vào $1997 \cdot k$ không phát sinh trong toàn bộ quá trình tính toán không?

Chứng minh rằng trung bình số học $a$ của $x_{1}, \ldots, x_{n}$ thỏa mãn
$$
\left(x_{1}-a\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-a\right)^{2} \leqslant \frac{1}{2}\left(\left|x_{1}-a\right|+\cdots+\left|x_{n}-a\right|\right)^{2} .
$$

Trên bàn cờ $5 \times 5$, hai người chơi trò chơi sau. Người chơi đầu tiên đặt một hiệp sĩ vào một ô vuông nào đó. Sau đó, các đấu thủ lần lượt di chuyển quân mã theo luật cờ vua, bắt đầu từ người chơi thứ hai. Không được phép di chuyển hiệp sĩ đến ô đã được viếng thăm trước đó. Người chơi không thể di chuyển sẽ thua. Ai trong hai người chơi có chiến lược chiến thắng?

Một hình chữ nhật có thể được chia thành các hình vuông bằng nhau $n$. Hình chữ nhật tương tự cũng có thể được chia thành các hình vuông bằng nhau $n+76$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $n$.

Hai đường tròn $\mathcal{C}_1$ và $\mathcal{C}_2$ cắt nhau tại $P$ và $Q$. Một đường thẳng qua $P$ lại cắt $\mathcal{C}_1$ và $\mathcal{C}_2$ lần lượt ở $A$ và $B$, và $X$ là điểm giữa của $AB$. Đường thẳng đi qua $Q$ và $X$ lại cắt $\mathcal{C}_1$ và $\mathcal{C}_2$ lần lượt ở $Y$ và $Z$. Chứng minh $X$ là trung điểm của $YZ$.