Một hình trên màn hình máy tính cho thấy các điểm $n$ trên một hình cầu, không có bốn đồng phẳng. Một số cặp điểm được nối bởi các đoạn. Mỗi đoạn có màu đỏ hoặc xanh. Đối với mỗi điểm có một khóa chuyển đổi màu của tất cả các phân đoạn với điểm đó là điểm cuối. Cứ ba điểm thì có một chuỗi các phím bấm làm cho ba đoạn giữa chúng có màu đỏ. Chứng minh rằng có thể làm cho tất cả các phân đoạn trên màn hình đỏ. Tìm số lần nhấn phím nhỏ nhất có thể chuyển tất cả các phân đoạn màu đỏ, bắt đầu từ trường hợp xấu nhất.
Gọi $N$ là số tự nhiên và $N' = N \setminus \{0\}$. Tìm tất cả các chức năng $f: N' \to N$ sao cho $f(xy) = f(x) + f(y)$, $f(30) = 0$ và $f(x) = 0$ cho tất cả $x \equiv 7 \pmod{10}$.
$P$ là một điểm cố định trong mặt phẳng. $A$, $B$, $C$ là những điểm như $PA = 3$, $PB = 5$, $PC = 7$ và khu vực $ABC$ càng lớn càng tốt. Chứng minh rằng $P$ phải là orthocenter của $ABC$.
Một ngôi nhà có hình dạng của một hình tam giác, chu vi $P$ và diện tích $A$ mét vuông. Khu vườn bao gồm tất cả các khu đất trong vòng 5 mét của ngôi nhà. Vườn và nhà cùng nhau chiếm bao nhiêu đất?
Giả sử rằng $S$ là một tập hợp hữu hạn có ít nhất năm điểm trong mặt phẳng; Một số có màu đỏ, một số khác có màu xanh lam. Không có tập hợp con nào của ba điểm có màu tương tự hoặc nhiều hơn là thẳng hàng. Chứng minh rằng có một tam giác (I) có các đỉnh có cùng màu, và (ii) ít nhất một cạnh của tam giác không chứa một điểm có màu đối diện.
Gọi $S=\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}\}$ biểu thị một chuỗi các số nguyên. Đối với mỗi trình tự con không trống $A$ của $S$, chúng tôi xác định $p(A)$ là tích của tất cả các số nguyên trong $A$. Gọi $m(S)$ là trung bình số học của $p(A)$ trên tất cả các tập con không trống $A$ của $S$. Nếu $m(S)=13$ và nếu $m\left(S \cup\{a_{r+1}\}\right)=49$ đối với một số nguyên dương $a_{r+1}$, hãy xác định các giá trị của $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r}$ và $a_{r+1}$.
Trên một chu vi, các điểm $n\gt 3$ được chọn và đánh số từ 1 đến $n$ theo bất kỳ thứ tự nào. Chúng tôi sẽ nói rằng hai điểm không liên tiếp $a$ và $b$ có liên quan nếu ở một trong hai cung kết thúc $a$ và $b$, tất cả các điểm được đánh dấu bằng Số ít hơn dấu của $a$ và $b$. Chứng minh rằng số cặp điểm liên quan chính xác là $n-3$.
Nhà toán học thời Phục hưng Leonardo da Pisa (tốt hơn là Fibonacci) được quy cho trình tự được định nghĩa như sau $$
\begin{aligned}
& a_{1}=1 \\
& a_{2}=1 \\
& a_{i}=a_{i-1}+a_{i-2} \quad \text{ ĐẾN } i\gt 2
\end{aligned}
$$ Express $a_{2 n}$ chỉ dựa trên ba điều khoản $a_{n-1}$, $a_{n}$, $a_{n+1}$.
Câu đố bao gồm việc phá vỡ cây thánh giá Hy Lạp ở bên trái của hình thành bốn phần mà một hình vuông có thể được tạo ra đã được nhiều người biết đến. Một giải pháp phổ biến là hình bên phải. Chứng minh rằng có vô số các giải pháp khác nhau. Có một giải pháp nào đó cho bốn phần bằng nhau?
Cho $(x_{n}),\ n \in \mathbb{N}$, một dãy số nguyên sao cho $$
\begin{aligned}
x_{1} & = 1 \\
x_{n+1} & \gt x_{n}, \text{ ĐẾN } n \geq 1 \\
x_{n+1} & \leq 2n, \text{ ĐẾN } n \geq 1
\end{aligned}
$$ chứng minh rằng đối với tất cả các số nguyên tự nhiên $k$ có hai số hạng của chuỗi $x_{r}$ và $x_{s}$ sao cho $x_{r} - x_{s} = k$.
Tính, đối với bất kỳ giá trị nào của tham số số nguyên $t$, giải pháp số nguyên $x$, $y$ của phương trình $$
y^{2}=x^{4}-22 x^{3}+43 x^{2}+858 x+t^{2}+10452(t+39)
$$
Gọi $S$ là tập hợp của tất cả các bộ $n$ các số nguyên dương riêng biệt, không có ba số trong cấp số học. Chứng minh rằng có một thành viên của $S$ có tổng số nghịch đảo lớn nhất của các phần tử của nó (bạn không cần phải tìm nó hoặc để cho thấy rằng nó là duy nhất).
$P$ là một điểm cố định trong mặt phẳng. cho thấy rằng trong số các tam giác $ABC$ sao cho $PA = 3$, $PB = 5$, $PC = 7$, những người có chu vi lớn nhất có $P$ như incenter.
Các số nguyên dương $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$ Thỏa mãn $ad - bc = 1$ và $a / b \gt p / q \gt c / d$. Chứng minh rằng $q \geq b + d$ và nếu $q = b + d$, thì $p = a + c$.
Cho $k^{3} = 2$ và để $x$, $y$, $z$ là bất kỳ số hữu tỉ nào sao cho $x + y k + z k^{2}$ là khác không. Chứng minh rằng có số hữu tỉ $u$, $v$, $w$ sao cho $(x + y k + z k^{2})(u + v k + w k^{2}) = 1$.
khác nhau. Có một giải pháp nào đó cho bốn phần bằng nhau?