MathNet 1975 — Phần 01

$A$, $B$, $C$, $D$ là bốn điểm "liên tiếp" trên chu vi của một vòng tròn và $P$, $Q$, $R$, $S$ là các điểm trên chu vi tương ứng là trung điểm của $\operatorname{arcs}\ AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chứng minh rằng $PR$ vuông góc với $QS$.

Đối với mỗi số thực $r$, $[r]$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $r$, ví dụ: $[6] = 6$, $[\pi] = 3$, $[-1.5] = -2$. Cho biết trên mặt phẳng $(x, y)$ tập hợp tất cả các điểm $(x, y)$ mà $[x]^2 + [y]^2 = 4$.

Đơn giản hóa $$
\left(\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \cdots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \cdots + n \cdot 3n \cdot 9n}\right)^{1/3}
$$

Đối với một số dương như $3.27$, $3$ được gọi là phần nguyên của số và $.27$ là phần thập phân. Tìm một số dương sao cho phần thập phân của nó, phần nguyên của nó, và bản thân số đó tạo thành một cấp số nhân.

Một dãy số $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ thỏa mãn (i) $a_{1}=\frac{1}{2}$, (ii) $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=n^{2} a_{n}$ \ quad $(n \geq 1)$. Xác định giá trị của $a_{n}$ \ Quad $(n \geq 1)$.

Tôi. Ghế $15$ được đặt bằng nhau xung quanh một chiếc bàn tròn trên đó là thẻ tên cho khách $15$. Những vị khách không nhận thấy những tấm thẻ này cho đến khi họ ngồi xuống, và hóa ra không ai ngồi vào đúng chỗ. Chứng minh rằng bàn có thể được xoay để ít nhất hai trong số các vị khách được ngồi đồng thời chính xác. II. Đưa ra một ví dụ về sự sắp xếp trong đó chỉ một trong số những khách $15$ được ngồi chính xác và không có vòng quay nào chính xác đặt nhiều hơn một người.

Một hàm $f(x)$ là định kỳ nếu có số dương $p$ sao cho $f(x+p)=f(x)$ cho tất cả $x$. Ví dụ, $\sin x$ là định kỳ với chu kỳ $2 \pi$. Hàm $\sin \left(x^{2}\right)$ có định kỳ không? chứng minh khẳng định của bạn.

Cho $k$ là một số nguyên dương. Tìm tất cả các đa thức $$
P(x) = a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}
$$ trong đó $a_{i}$ là thực, thỏa mãn phương trình $$
P(P(x)) = [P(x)]^{k}
$$

Một tam giác $ABC$ có diện tích đơn vị. Người chơi đầu tiên chọn một điểm $X$ bên cạnh $AB$, sau đó người chơi thứ hai chọn một điểm $Y$ bên cạnh $BC$, và cuối cùng người chơi đầu tiên chọn một điểm $Z$ bên $CA$. Người chơi thứ nhất cố gắng sắp xếp cho diện tích $XYZ$ càng lớn càng tốt, người chơi thứ hai cố gắng sắp xếp cho khu vực càng nhỏ càng tốt. Chiến lược tối ưu cho người chơi đầu tiên là gì và điều tốt nhất anh ta có thể làm (giả sử người chơi thứ hai chơi tối ưu) là gì?

Chu vi nhỏ nhất của một convex $32$-gon có đỉnh là tất cả các điểm mạng?

$S$ là một dải nằm ngang trong mặt phẳng. Các đường $n$ được vẽ sao cho không có ba đường thẳng hàng và mọi cặp giao nhau trong dải. Một đường dẫn bắt đầu ở đường viền dưới cùng của dải và bao gồm một chuỗi các phân đoạn từ các dòng $n$. Đường đi phải thay đổi đường tại mỗi ngã tư và luôn phải di chuyển lên trên. Chứng minh rằng: (1) Có ít nhất $n/2$ đường dẫn rời rạc; (2) Có đường đi ít nhất là các đoạn $n$; (3) có một đường dẫn không quá $n/2 + 1$ của các dòng; và (4) có một đường dẫn liên quan đến các phân đoạn từ tất cả các dòng $n$.

Cho $p(x)$ là đa thức với hệ số nguyên. Gọi $f(n)$ là tổng của các chữ số (thập) trong giá trị $p(n)$. Chứng minh rằng $f(n)$ có giá trị $m$ vô hạn nhiều lần.

Đối với những gì $n$, chúng tôi có thể tô màu cho các khối đơn vị bằng hình khối $n \times n \times n$ màu đỏ hoặc xanh lá cây để mỗi khối đơn vị màu đỏ chỉ có hai hình khối lân cận màu đỏ (chia sẻ một khuôn mặt) và mọi khối đơn vị màu xanh lá cây chỉ có hai màu xanh lá cây các khối lân cận.

a, b, c là thực dương. Chứng minh rằng $a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3abc \geq ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)$.

Cho một hình lục giác lồi, lấy trung điểm của mỗi đường chéo trong số sáu đường chéo nối các đỉnh được phân tách bằng một đỉnh duy nhất (vì vậy nếu các đỉnh theo thứ tự $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, thì các đường chéo là $AC$, $BD$, $CE$, $DF$, $EA$, $FB$). Chứng minh rằng các trung điểm tạo thành một hình lục giác lồi có diện tích bằng một phần tư diện tích gốc.

Trình tự hữu hạn $\{a_n\}$ có mỗi thành viên $0$, $1$ hoặc $2$. Một động thái liên quan đến việc thay thế hai thành viên không bằng nhau bất kỳ của trình tự bằng một thành viên khác với một trong hai. Một loạt các bước di chuyển dẫn đến một số duy nhất. Chứng minh rằng không có chuỗi di chuyển nào có thể kết thúc trong một số (đơn) khác nhau.

20 đội mỗi đội chơi một trò chơi với mỗi đội khác. Mỗi trận đấu đều có kết quả thắng hoặc thua (không hòa). $k$ của các đội là châu Âu. Một chiếc cúp riêng được trao cho đội bóng xuất sắc nhất châu Âu trên cơ sở các trò chơi $k(k-1)/2$ mà cả hai đội đều là người châu Âu. Chiếc cúp này được giành bởi một đội duy nhất. Cùng một đội đến cuối cùng trong cuộc thi tổng thể (thắng ít trò chơi hơn bất kỳ đội nào khác). Giá trị lớn nhất có thể của $k$ là bao nhiêu? Nếu được phép rút thăm và một đội đạt điểm 2 cho một chiến thắng và 1 cho một trận hòa, giá trị lớn nhất có thể của $k$ là bao nhiêu?

(1) $O$ là đường tròn tâm của tam giác $ABC$. Tam giác được xoay khoảng $O$ cho tam giác $A'B'C'$ mới. Các dòng $AB$ và $A'B'$ giao nhau tại $C''$, $BC$ và $B'C'$ cắt nhau tại $A''$, và $CA$ và $C'A'$ giao nhau tại $B''$. Chứng tỏ $A''B''C''$ tương tự như $ABC$. (2) $O$ là tâm của đường tròn qua $ABCD$. $ABCD$ được quay khoảng $O$ cho tứ giác $A'B'C'D'$. Chứng minh rằng các giao điểm của các cạnh tương ứng tạo thành hình bình hành.

Chứng minh rằng có mỗi số $2^{n + 1}$ với các chữ số $2^{n}$, tất cả $1$ hoặc $2$, để cứ hai số khác nhau ít nhất một nửa số của chúng.

Cho số thực $a_i$, $b_i$ và dương thực $c_i$, $d_i$, let $e_{ij} = (a_i + b_j) / (c_i + d_j)$. Cho $M_i = \max_{0 \leq j \leq n} e_{ij}$, $m_j = \min_{1 \leq i \leq n} e_{ij}$. Chứng minh rằng chúng ta có thể tìm thấy một $e_{ij}$ với $1 \leq i, j \leq n$ sao cho $e_{ij} = M_i = m_j$.