Giả sử $ABCD$ là một miếng bìa cứng hình vuông có cạnh dài $a$. Trên một mặt phẳng có hai đường thẳng song song $\ell_{1}$ và $\ell_{2}$, chúng cũng cách nhau những đơn vị $a$. Hình vuông $ABCD$ được đặt trên mặt phẳng sao cho các cạnh $AB$ và $AD$ lần lượt cắt $\ell_{1}$ tại $E$ và $F$. Ngoài ra, các cạnh $CB$ và $CD$ cắt $\ell_{2}$ lần lượt tại $G$ và $H$. Gọi chu vi của $\triangle AEF$ và $\triangle CGH$ lần lượt là $m_{1}$ và $m_{2}$. Chứng minh rằng dù hình vuông được đặt như thế nào thì $m_{1}+m_{2}$ vẫn không đổi.
Đặt $a$, $b$, $c$ là các cạnh của một tam giác, với $a + b + c = 1$ và đặt $n \geq 2$ là số nguyên. Cho thấy điều đó
$$
\sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} + \sqrt[n]{b^{n} + c^{n}} + \sqrt[n]{c^{n} + a^{n}} \lt 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2}
$$
Đặt $k \geq 14$ là một số nguyên và đặt $p_{k}$ là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn $k$. Bạn có thể cho rằng $p_{k} \geq 3k/4$. Đặt $n$ là một số nguyên tổng hợp. Chứng minh:
Cho hai số nguyên dương $m$ và $n$, hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho trong số những người $k$ bất kỳ, hoặc có $2m$ tạo thành cặp $m$ là những người quen biết lẫn nhau hoặc có $2n$ trong số họ tạo thành cặp $n$ của những người không quen biết nhau.
Cho $a, b, c, d, e, f$ là các số thực sao cho đa thức
$$
p(x) = x^{8} - 4x^{7} + 7x^{6} + a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x + f
$$
phân tích thành tám thừa số tuyến tính $x - x_{i}$, với $x_{i} \gt 0$ cho $i = 1, 2, \ldots, 8$. Xác định tất cả các giá trị có thể có của $f$.
Trên màn hình máy tính ban đầu có hai chữ $1$ được viết. Chương trình *insert* chèn tổng của các số đó vào giữa mỗi cặp số bằng cách nhấn phím *Enter*.
Trong bước đầu tiên, một số được chèn và chúng ta thu được $1$-$2$-$1$; ở bước thứ hai, hai số được chèn và chúng ta có $1$-$3$-$2$-$3$-$1$; Trong phần thứ ba, bốn số được chèn và bạn có $1$-$4$-$3$-$5$-$2$-$5$-$3$-$4$-$1$; v.v. Tìm tổng của tất cả các số xuất hiện trên màn hình ở cuối bước số $25$.
Cho $ABC$ là một tam giác sao cho $A\hat{C}C = 2B\hat{A}A$; Hơn nữa, nếu $D$ biểu thị điểm trên cạnh $BC$ sao cho $AD$ là phân giác của góc $C\hat{A}B$, thì chúng ta có $CD=AB$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.
Trên bàn có những chiếc túi nhựa $n \geq 2$, đủ màu sắc khác nhau. Mỗi túi tiếp xúc với bàn hoặc nằm bên trong một trong các túi khác. Thao tác được phép là chọn một trong các túi tiếp xúc với bàn và thực hiện trao đổi sau: tất cả các túi bên trong tiếp xúc với bàn, và tất cả các túi khác tiếp xúc với bàn được đặt bên trong túi đã chọn (không sửa đổi nội dung của bất kỳ túi nào thay đổi vị trí). Xác định có thể thu được bao nhiêu cấu hình khác nhau bằng cách sử dụng thao tác này nhiều lần.
Làm rõ: Hai cấu hình được coi là giống nhau nếu mỗi túi chứa các túi giống nhau ở cả hai cấu hình.
Trong một trường quân sự có sinh viên $200$. Hiệu trưởng quyết định rằng mỗi ngày một nhóm học sinh $9$ phải tuần tra trong trường và chuẩn bị danh sách tuần tra trong cả năm, tôn trọng quy tắc sau: nếu một học sinh đi tuần tra vào một ngày nhất định thì học sinh đó không thể tuần tra vào những ngày $10$ tiếp theo.
Phó giám đốc tin rằng mỗi đội tuần tra nên có học sinh $10$.
Quyết định xem hiệu phó có thể thêm một học sinh vào mỗi cuộc tuần tra trong khi vẫn tôn trọng danh sách của hiệu trưởng và quy định ngày nghỉ học $10$ cho mỗi học sinh hay không.
Trong một tổng có các phân số $1669$ và các mẫu số sắp xếp lại các số nguyên từ $1$ thành $1669$. Nếu mẫu số là bội số của $5$ thì tử số là $4$ và phân số có ký hiệu $-$; Nếu mẫu số không phải là bội số của $5$ thì tử số là $1$ và phân số có ký hiệu $+$:
$$
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{4}{5} + \dots + \frac{1}{1661} + \frac{1}{1662} + \frac{1}{1663} + \frac{1}{1664} - \frac{4}{1665} + \frac{1}{1666} + \frac{1}{1667} + \frac{1}{1668} + \frac{1}{1669}
$$
Nếu tổng được viết dưới dạng phân số tối giản (rút gọn), hãy chứng tỏ rằng tử số của phân số này chia hết cho $2003$.
Trong đường tròn $\Gamma$, dây cung $PQ$ được coi sao cho đoạn nối trung điểm của cung nhỏ nhất $\widehat{PQ}$ và trung điểm của đoạn $PQ$ có số đo $1$. Cho $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ và $\Gamma_3$ là ba đường tròn tiếp xúc với dây cung $PQ$ nằm trong cùng nửa mặt phẳng với tâm $\Gamma$ đối với đường thẳng $PQ$. Hơn nữa, $\Gamma_1$ và $\Gamma_3$ là các tiếp tuyến bên trong với $\Gamma$ và các tiếp tuyến bên ngoài với $\Gamma_2$, và tâm của $\Gamma_1$ và $\Gamma_3$ nằm trong các nửa mặt phẳng khác nhau đối với đường thẳng được xác định bởi tâm của $\Gamma$ và $\Gamma_2$. Nếu tổng bán kính của $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ và $\Gamma_3$ bằng bán kính của $\Gamma$, hãy tính bán kính của $\Gamma_2$.
Cạnh góc vuông $X \hat{A}Y$ của đỉnh $A$ và hình bán nguyệt $\Gamma$ bên trong góc này với tâm trên cạnh $AX$ và tiếp tuyến với cạnh $AY$ trong $A$, dựng tiếp tuyến với $\Gamma$ sao cho tam giác cắt khỏi góc $X \hat{A}Y$ có diện tích tối thiểu.
Ban đầu trên bảng, tất cả các số nguyên từ $1$ đến $2002$, không lặp lại, được viết thành một dòng và theo thứ tự nào đó.
Trong mỗi bước, số thứ nhất và số thứ hai của dòng bị xóa và giá trị tuyệt đối của phép trừ của hai số vừa bị xóa được ghi ở đầu dòng; các số khác không được sửa đổi trong bước đó và có một dòng mới có ít hơn một số so với bước trước.
Sau khi thực hiện các bước $2001$, trên bảng chỉ còn lại một số.
Xác định tất cả các giá trị có thể có của số còn lại trên bảng bằng cách thay đổi thứ tự của các số $2002$ trên dòng đầu tiên (và thực hiện các bước $2001$).
Cho $ABC$ là một tam giác nội tiếp trong một đường tròn. Gọi $M$ là trung điểm của cung $AB$ không chứa $C$ và $N$ là trung điểm của cung $AC$ không chứa $B$.
Gọi $E$ và $F$ lần lượt là các điểm mà đường thẳng $MN$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$.
Chứng minh rằng nếu $ME = EF = FN$ thì tam giác $ABC$ là tam giác đều.
Trong tam giác nhọn $ABC$, các điểm $H$, $G$ và $M$ nằm trên cạnh $BC$, do đó $AH$, $AG$ và $AM$ lần lượt là chiều cao, đường phân giác và đường trung bình của tam giác. Được biết, $HG = GM$, $AB = 10$ và $AC = 14$. Xác định diện tích tam giác $ABC$.
Tứ giác $ABCD$ có các đường chéo vuông góc và nội tiếp đường tròn $\Gamma$ có tâm $O$. Một đường thẳng song song với $BD$ cắt các đoạn $AO$ và $AD$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AP$ và $CQ$ cắt nhau tại một điểm $\Gamma$.
Ở nhà Gabriel họ làm việc rất bài bản. Mỗi ngày làm việc, người mẹ đều đi xe máy vào cùng một thời điểm, cùng tốc độ và dọc theo cùng một con đường để đón Gabriel tan trường. Anh ta đến trường đúng 12 giờ và ngay lập tức trở về nhà cùng Gabriel, đi cùng một con đường và với cùng tốc độ. Tất nhiên, họ về nhà vào cùng một thời điểm mỗi ngày.
Một ngày nọ, Gabriel rời trường sớm và lúc 11 giờ 15 phút anh bắt đầu đi bộ về nhà. Trên đường đi, anh gặp mẹ, người đang đón anh đi học như mọi ngày. Vừa gặp nhau, họ lập tức trở về nhà, đến sớm hơn thường lệ 20 phút.
Xác định xem họ sẽ về đến nhà sớm hơn thường lệ bao nhiêu phút nếu Gabriel bắt đầu đi bộ lúc 11 giờ 33 phút.
Cho $C$ và $D$ là hai điểm của hình bán nguyệt đường kính $AB$ sao cho $B$ và $C$ nằm trong các nửa mặt phẳng khác nhau đối với đường thẳng $AD$. Đặt $M$, $N$ và $P$ lần lượt biểu thị các điểm giữa của $AC$, $DB$ và $CD$. Gọi $O_A$ và $O_B$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ACP$ và $BDP$. Chứng minh hai đường thẳng $O_A O_B$ và $MN$ song song.
Xác định số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho phương trình
$$
2002x + 273y = 200201 + k
$$
có nghiệm nguyên và với giá trị $k$ đó, hãy tìm số nghiệm $(x, y)$ với $x, y$ là số nguyên dương mà phương trình có.