Câu hỏi 11
Trong một tổng có các phân số $1669$ và các mẫu số sắp xếp lại các số nguyên từ $1$ thành $1669$. Nếu mẫu số là bội số của $5$ thì tử số là $4$ và phân số có ký hiệu $-$; Nếu mẫu số không phải là bội số của $5$ thì tử số là $1$ và phân số có ký hiệu $+$:
$$
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{4}{5} + \dots + \frac{1}{1661} + \frac{1}{1662} + \frac{1}{1663} + \frac{1}{1664} - \frac{4}{1665} + \frac{1}{1666} + \frac{1}{1667} + \frac{1}{1668} + \frac{1}{1669}
$$
Nếu tổng được viết dưới dạng phân số tối giản (rút gọn), hãy chứng tỏ rằng tử số của phân số này chia hết cho $2003$.
$$
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{4}{5} + \dots + \frac{1}{1661} + \frac{1}{1662} + \frac{1}{1663} + \frac{1}{1664} - \frac{4}{1665} + \frac{1}{1666} + \frac{1}{1667} + \frac{1}{1668} + \frac{1}{1669}
$$
Nếu tổng được viết dưới dạng phân số tối giản (rút gọn), hãy chứng tỏ rằng tử số của phân số này chia hết cho $2003$.