Các đường tròn $(K_1, r_1)$ và $(K_2, r_2)$ tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật $AB\Gamma\Delta$, với $AB = a$ và $B\Gamma = b$.
(i) Hãy biểu diễn các cạnh $a$ và $b$ theo các bán kính $r_1$ và $r_2$.
(ii) Nếu tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn đi qua $\Delta$, hãy tính tỉ số $\frac{r_1}{r_2}$ và tìm độ dài $\Delta K$.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\angle DAC = \angle BDC = 36^\circ$, $\angle CBD = 18^\circ$ và $\angle BAC = 72^\circ$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$. Hãy xác định số đo của $\angle APD$ (tính bằng độ).
Cho 50 điểm trong mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi điểm được tô bằng một trong bốn màu cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một màu và ít nhất 130 tam giác thường (không cân) có các đỉnh đều thuộc màu đó.
$ABCD$ là một tứ giác lồi nội tiếp. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $E$. Cho biết $AB = 39$, $AE = 45$, $AD = 60$ và $BC = 56$.
Hãy xác định độ dài $CD$.
Trong tam giác $ABC$ cho trước góc $\alpha = \hat{A}$ và cạnh $a = |BC|$. Biết rằng $a = \sqrt{rR}$, trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hãy xác định tất cả các tam giác như vậy, tức là tính các cạnh $b$ và $c$ của mọi tam giác như thế.
Cho $x \gt 1$ là một số không nguyên. Chứng minh rằng
$$
\left( \frac{x+\{x\}}{[x]} - \frac{[x]}{x+\{x\}} \right) + \left( \frac{x+[x]}{\{x\}} - \frac{\{x\}}{x+[x]} \right) \gt \frac{9}{2},
$$
trong đó $[x]$ và $\{x\}$ lần lượt là phần nguyên và phần thập phân (phần lẻ) của $x$.
Cho $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ sao cho $AB + BD = AC + CD$. Đoạn thẳng $AD$ cắt đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tại $X$ và $Y$, với $X$ gần $A$ hơn. Gọi $E$ là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ với cạnh $BC$. Chứng minh rằng
(i) $EY$ vuông góc với $AD$,
(ii) $XD$ bằng $2IA'$, trong đó $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $A'$ là trung điểm của $BC$.
Có tồn tại hay không một đa thức $f$ bậc $2007$ với hệ số nguyên sao cho $f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), \dots$ đôi một nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên $n$? Hãy giải thích khẳng định của bạn.
Trong một trường có $2007$ học sinh nam và $2007$ học sinh nữ. Mỗi học sinh tham gia không quá $100$ câu lạc bộ trong trường. Biết rằng hai học sinh khác giới bất kỳ đều cùng tham gia ít nhất một câu lạc bộ chung. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ có ít nhất $11$ thành viên nam và $11$ thành viên nữ.
Hãy xác định xem có tồn tại cặp số nguyên dương $(m, n)$ thỏa mãn hay không:
(i) ước chung lớn nhất của $m$ và $n$ bằng $1$, và $m \le 2007$,
(ii) với mọi $k = 1, 2, \dots, 2007$, $\lfloor \frac{nk}{m} \rfloor = \lfloor \sqrt{2}k \rfloor$.
(Ở đây $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.)
Cho $A$, $B$ và $C$ là các số thực thỏa mãn
(i) $\sin A \cos B + |\cos A \sin B| = \sin A |\cos A| + |\sin B \cos B|$,
(ii) $\tan C$ và $\cot C$ xác định.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $(\tan C - \sin A)^2 + (\cot C - \cos B)^2$.
a. Cho năm điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong các tam giác được tạo bởi ba điểm bất kỳ trong năm điểm này làm đỉnh, có ít nhất ba tam giác không phải là tam giác nhọn. (Tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc trong đều nhọn.)
b. Cho 100 điểm bất kỳ trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong các tam giác được tạo bởi ba điểm bất kỳ trong 100 điểm này làm đỉnh, có ít nhất 30% số tam giác không phải là tam giác nhọn.
Dãy số $\{a_n\}$ được xác định bởi $a_1 = 0$ và $(n+1)^3 a_{n+1} = 2n^2(2n+1)a_n + 2(3n+1)$ với mọi số nguyên $n \ge 1$. Chứng minh rằng có vô hạn số hạng của dãy là các số nguyên dương.
Cho $ABC$ là tam giác đều với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Cho $P$ là một điểm nằm trong tam giác sao cho $\angle BPC = 120^\circ$ và $P \ne O$. Gọi $B'$ và $C'$ lần lượt là ảnh của $B$ và $C$ qua phép đối xứng qua đường thẳng $PO$. Hơn nữa $B'C'$ cắt $AP$ tại $D$. Hãy xác định tỉ số $AD : DP$. Hãy chứng minh khẳng định của bạn.
Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp sao cho $AD + BC = AB$. Chứng minh rằng giao điểm của các đường phân giác của $\angle ADC$ và $\angle BCD$ nằm trên đường thẳng $AB$.