Câu hỏi 5
Cho số nguyên dương $n\ge3$. Trên một đường tròn có $n$ vị trí đánh số $1,2,\dots,n$ theo chiều kim đồng hồ. Đặt $n$ quân, mỗi quân có một mặt trắng và một mặt đen, sao cho mỗi vị trí có một quân. Ban đầu mọi quân ngửa mặt trắng, trừ quân ở vị trí $1$ ngửa mặt đen. Ta được thực hiện thao tác:
(i) Chọn quân $X$ ngửa mặt đen; gọi $Y,Z$ là hai quân tiếp theo theo chiều kim đồng hồ.
(ii) Lật quân $Y$ sang màu kia.
(iii) Chuyển $X$ hai vị trí theo chiều kim đồng hồ và chuyển $Y,Z$ một vị trí ngược chiều kim đồng hồ. (Sau thao tác vẫn có một quân ở mỗi vị trí.)
Cho $S$ là tập con khác rỗng bất kỳ của $\{1,2,\dots,n\}$. Chứng minh có thể thực hiện hữu hạn thao tác để các vị trí quân đen chính xác là các số thuộc $S$.
(i) Chọn quân $X$ ngửa mặt đen; gọi $Y,Z$ là hai quân tiếp theo theo chiều kim đồng hồ.
(ii) Lật quân $Y$ sang màu kia.
(iii) Chuyển $X$ hai vị trí theo chiều kim đồng hồ và chuyển $Y,Z$ một vị trí ngược chiều kim đồng hồ. (Sau thao tác vẫn có một quân ở mỗi vị trí.)
Cho $S$ là tập con khác rỗng bất kỳ của $\{1,2,\dots,n\}$. Chứng minh có thể thực hiện hữu hạn thao tác để các vị trí quân đen chính xác là các số thuộc $S$.