Gọi $M$ là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác $ABCD$. Vẽ đường tròn $C$ tâm $M$, bán kính $r$, sao cho các đỉnh tứ giác đều nằm ngoài đường tròn. Chứng minh $PA+PB+PC+PD\gt4r$ với mọi điểm $P$ nằm trong đường tròn $C$.
Hình tọa độ bổ sung (AI); hình phối cảnh không theo tỉ lệ.
Cho số nguyên tố $p\ge2$ và trường $(K,+,\cdot)$ có $p^2$ phần tử. Đặt
$$L=\{0,1,\dots,\underbrace{1+1+\cdots+1}_{p-1\text{ lần}}\}.$$
Chứng minh với mỗi $x\in K\setminus L$ tồn tại $a,b\in L$ sao cho $x^{2013}+ax+b=0$.
Tìm mọi hàm tăng $f:\mathbb N^*\to\mathbb N^*$ sao cho với mỗi $n\in\mathbb N^*$, số
$$\frac1n\sum_{k=1}^n kf(k)$$
là một số chính phương không lớn hơn $(n+1)^2$.
Cho $a,b\in\mathbb R^*$ và hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ xác định bởi
$$f(x)=\begin{cases}ax,&x\in\mathbb Q,\\bx,&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.\end{cases}$$
Chứng minh $f$ đơn ánh khi và chỉ khi $f$ toàn ánh.
Nhóm $(G,\cdot)$ có tính chất $(P)$ nếu với mọi tự đẳng cấu $f$ của $G$, tồn tại các tự đẳng cấu $g,h$ của $G$ sao cho $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ với mọi $x\in G$. Chứng minh:
a) Mọi nhóm có $(P)$ đều giao hoán.
b) Mọi nhóm hữu hạn giao hoán có cấp lẻ đều có $(P)$.
c) Không nhóm hữu hạn nào có cấp $4n+2$, $n\in\mathbb N$, có $(P)$.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác có ba cạnh đôi một khác nhau,
$$\frac{h_a-h_b}{r_b-r_a}+\frac{h_b-h_c}{r_c-r_b}+\frac{h_c-h_a}{r_a-r_c}\geq\frac32.$$
Hai cặp đôi và một người độc thân ngồi ngẫu nhiên thành một hàng trên năm ghế. Xác suất để có ít nhất một người không ngồi cạnh bạn đời của mình là bao nhiêu?
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $C$, và $AA'$, $BB'$, $CC'$ là các đường kính của đường tròn này. Gọi $H_1,H_2,H_3$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $A'BC$, $AB'C$, $ABC'$.
a) Chứng minh tồn tại tam giác $PQR$ có các cạnh bằng độ dài các đoạn $[AH_1]$, $[BH_2]$, $[CH_3]$ và tính tỷ số $S_{PQR}/S_{ABC}$.
b) Chứng minh các đường thẳng $AH_1$, $BH_2$, $CH_3$ đồng quy.
Đoạn thẳng $\overline{AB}$ là cạnh dài hơn của hình chữ nhật $ABCD$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ vuông góc với $\overline{AC}$ và đường thẳng $AD$; gọi $F$ là giao điểm của đường tròn tâm $A$ đi qua $B$ với $\overline{CD}$. Chứng minh rằng hai đường thẳng $AF$ và $EF$ vuông góc.
Cho số nguyên dương $n$. Alice và Bob chơi trò chơi sau:
- Alice chọn $n$ số thực, không nhất thiết phân biệt.
- Alice viết tất cả các tổng của từng cặp số lên một tờ giấy rồi đưa cho Bob (có $\frac{n(n-1)}2$ tổng, không nhất thiết phân biệt).
- Bob thắng nếu chỉ với một lần đoán, bạn ấy xác định đúng $n$ số ban đầu mà Alice đã chọn.
Bob có thể chắc chắn thắng trong các trường hợp sau không?
(a) $n=5$; (b) $n=6$; (c) $n=8$.
Hãy giải thích.
Đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc cạnh $BC$ tại $A_1$. Xác định tương tự $B_1$ trên $CA$ và $C_1$ trên $AB$. Giả sử tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.
Đường tròn bàng tiếp đối diện $A$ là đường tròn tiếp xúc cạnh $BC$ và các đường thẳng $AB,AC$, nhưng không tiếp xúc các đoạn $AB,AC$. Các đường tròn bàng tiếp đối diện $B,C$ được định nghĩa tương tự.
