Cho các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_{14}$. Chứng minh rằng
$$\begin{aligned}&\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+\cdots+\frac{a_{14}}{a_1+a_2}\\&\qquad\ge\frac{a_1}{a_{14}+a_1}+\frac{a_2}{a_1+a_2}+\cdots+\frac{a_{14}}{a_{13}+a_{14}}.\end{aligned}$$
Khi nào xảy ra dấu bằng?
Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$\begin{aligned}&\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}\\&\qquad+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}.\end{aligned}$$
Các điểm $M,N,K$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$ và không trùng với các đỉnh. Tam giác $MNK$ được gọi là đẹp nếu các tam giác $MNK$ và $ABC$ đồng dạng (các đỉnh tương ứng theo đúng thứ tự này). Chứng minh rằng nếu trong tam giác $ABC$ có hai tam giác đẹp có chung một đỉnh thì tam giác $ABC$ vuông.
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ ($AB\lt AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Lấy $K$ trên $AC$, $K\ne C$, sao cho $IK=IC$. Đường thẳng $BK$ cắt lại $(O)$ tại $D$ và cắt $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt $AC$ tại $F$.
a) Chứng minh $EF=BC/2$.
b) Lấy $M$ trên $DI$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt $BC$ tại $N$, và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt lại $(O)$ tại $P$. Chứng minh $PK$ đi qua trung điểm đoạn $AD$.
Cho một đa giác đều $103$ cạnh có $79$ đỉnh được tô đỏ và các đỉnh còn lại được tô xanh. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
a) Tìm mọi giá trị có thể của $(A,B)$.
b) Tính số cách tô đôi một không tương đương thỏa mãn $B=14$. Hai cách tô được coi là tương đương nếu có thể biến cách này thành cách kia bằng một phép quay trên đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Tìm tất cả các bộ gồm $2014$ số hữu tỉ không nhất thiết phân biệt sao cho: khi bỏ một số bất kỳ trong bộ, luôn có thể chia $2013$ số còn lại thành ba nhóm, mỗi nhóm có đúng $671$ phần tử, và tích các phần tử trong ba nhóm bằng nhau.
Số nguyên dương nhỏ nhất $n$ không viết được dưới bất kỳ dạng nào sau đây là bao nhiêu?
- $n=1+2+\cdots+k$ với $k$ nguyên dương.
- $n=p^k$ với $p$ nguyên tố và $k$ nguyên.
- $n=p+1$ với $p$ nguyên tố.
- $n=pq$ với $p,q$ là hai số nguyên tố phân biệt.
Với mỗi số nguyên dương $x$, định nghĩa $\operatorname{Accident}(x)$ là tập các cặp có thứ tự $(s,t)$ với $s\in\{0,2,4,5,7,9,11\}$ và $t\in\{1,3,6,8,10\}$ sao cho $x+s-t$ chia hết cho $12$. Với mỗi số nguyên không âm $i$, gọi $a_i$ là số giá trị $x\in\{0,1,\ldots,11\}$ thỏa mãn $|\operatorname{Accident}(x)|=i$. Tính
$$a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2.$$
Cho $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_7\}$ là tập gồm các số nguyên dương phân biệt sao cho trung bình cộng các phần tử của mọi tập con khác rỗng của $A$ đều là số nguyên. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tổng các phần tử của $A$.
Bảy em nhỏ ngồi thành vòng tròn. Giáo viên chia kẹo sao cho:
- Mỗi em được ít nhất một viên.
- Không có hai em nào được cùng số viên.
- Số kẹo của hai em ngồi cạnh nhau có một ước chung khác $1$.
- Không có số nguyên tố nào là ước của số kẹo của cả bảy em.
Giáo viên cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu viên kẹo?
Cho $x_1,\ldots,x_{100}$ sao cho mỗi $x_i$ là một số nguyên được chọn ngẫu nhiên đều từ $1$ đến $6$. Tìm kỳ vọng của số phần tử chia hết cho $6$ trong tập $\{x_1,x_1+x_2,\ldots,x_1+x_2+\cdots+x_{100}\}$.
Cho 100 số nguyên dương phân biệt. Một cặp số trong đó được gọi là tốt nếu tỉ số giữa hai số bằng $2$ hoặc $3$. Số cặp tốt $g$ lớn nhất mà 100 số này có thể tạo thành là bao nhiêu? (Một số có thể được dùng trong nhiều cặp.)
Có $100$ học sinh muốn đăng ký môn Nhập môn Diễn xuất. Môn học có ba lớp, mỗi lớp nhận đúng $20$ học sinh. Trong $100$ học sinh, gồm Alex và Zhu, người ta bốc thăm chọn ngẫu nhiên $60$ người để xếp đầy các lớp. Xác suất Alex và Zhu vào cùng một lớp là bao nhiêu?
Cho $n$ là số nguyên dương chẵn và $G$ là đồ thị có $n$ đỉnh, đúng $\frac{n^2}{4}$ cạnh, không có khuyên hay cạnh bội (mỗi cặp không thứ tự gồm hai đỉnh phân biệt được nối bởi $0$ hoặc $1$ cạnh). Một cặp đỉnh phân biệt không thứ tự $\{x,y\}$ được gọi là “thân thiện” nếu chúng có một đỉnh kề chung (tồn tại đỉnh $z$ sao cho $xz,yz$ đều là cạnh). Chứng minh $G$ có ít nhất $2^{\binom{n/2}{2}}$ cặp đỉnh thân thiện không thứ tự.
Cho dãy $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ xác định bởi $a_0=\sqrt2$, $a_1=2$ và $a_{n+1}=a_na_{n-1}^2$ với $n\ge1$. Dãy số dư khi chia $a_0,a_1,a_2,\ldots$ cho $2014$ cuối cùng tuần hoàn với chu kỳ tối thiểu $p$ (nghĩa là $a_m=a_{m+p}$ với mọi số nguyên $m$ đủ lớn, và $p$ là số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất đó). Tìm $p$.