MathNet 2014

Xác định số nào lớn hơn trong hai số $(100!)!$ và $(99!)^{100!}\cdot(100!)^{99!}$.

Cho một thất giác lồi. Tính côsin của bốn góc tùy ý, sin của ba góc còn lại, rồi cộng bảy số đó. Biết rằng tổng này không phụ thuộc vào cách chọn bốn góc. Chứng minh rằng thất giác có bốn góc bằng nhau.

Hình minh họa thất giác lồi (điều kiện về tổng được nêu trong đề):

Pete đặt một số quân vào các ô của bàn cờ $50\times50$ (mỗi ô không quá một quân). Chứng minh rằng Bazil có thể đặt thêm không quá $99$ quân vào các ô trống sao cho mỗi hàng và mỗi cột chứa một số chẵn quân.

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ sao cho các tia $AB$ và $DC$ gặp nhau tại $K$. Biết rằng $B,D$ và trung điểm của các đoạn $AC,KC$ cùng nằm trên một đường tròn. Tìm tất cả giá trị có thể của góc $ADC$.

Mặt cầu $\omega$ đi qua đỉnh $S$ của hình chóp $SABC$ và cắt các cạnh $SA,SB,SC$ lần thứ hai lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Mặt cầu $\Omega$ ngoại tiếp hình chóp $SABC$ giao với $\omega$ theo một đường tròn nằm trong mặt phẳng song song với $(ABC)$. Các điểm $A_2,B_2,C_2$ lần lượt đối xứng với $A_1,B_1,C_1$ qua trung điểm của $SA,SB,SC$. Chứng minh rằng $A,B,C,A_2,B_2,C_2$ cùng nằm trên một mặt cầu. (I. Bogdanov)

Có $10^{1000}$ số nguyên dương xếp thành vòng tròn. Người ta tính bội chung nhỏ nhất của mỗi cặp số kề nhau. Có thể nào các kết quả là $10^{1000}$ số nguyên dương liên tiếp (theo một thứ tự nào đó) hay không? (S. Berlov)

Trên bảng viết phương trình $x^3+*x^2+*x+*=0$. Petya và Vasya lần lượt thay các dấu sao bằng số hữu tỉ: trước hết Petya thay một dấu sao tùy ý, sau đó Vasya thay một trong hai dấu sao còn lại, rồi Petya thay dấu sao cuối cùng. Có đúng là bất kể Vasya làm gì, Petya đều có thể thu được phương trình có hiệu của hai nghiệm nào đó bằng $2014$ hay không?

Thầy giáo viết vào vở Petya bốn số nguyên dương phân biệt. Với mỗi cặp số, Petya tìm ước chung lớn nhất. Sáu kết quả là $1,2,3,4,5,N$, với $N\gt5$. Giá trị nhỏ nhất có thể của $N$ là bao nhiêu?

Điểm $M$ là trung điểm cạnh $AC$ của tam giác $ABC$. Trên các đoạn $AM,CM$ lần lượt chọn $P,Q$ sao cho $PQ=AC/2$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ$ cắt cạnh $BC$ tại $X\ne B$, còn đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCP$ cắt cạnh $AB$ tại $Y\ne B$. Chứng minh rằng tứ giác $BYMX$ nội tiếp. (F. Ivlev, F. Nilov)

Số $x$ có tính chất: trong bốn số $x-\sqrt2$, $x-1/x$, $x+1/x$, $x^2+2\sqrt2$, có đúng một số không nguyên. Tìm tất cả các số $x$ như vậy.

Các số $1,2,\dots,n^2$ được điền theo một thứ tự nào đó vào các ô của bàn cờ $n\times n$, mỗi ô một số. Pete thực hiện các lượt theo quy tắc sau. Trong lượt đầu, cậu đặt một quân vào một ô. Ở mỗi lượt sau, cậu có thể đặt một quân mới vào một ô tùy ý hoặc chuyển một quân theo phương ngang hay dọc từ ô mang số $a$ tới một ô bất kỳ mang số lớn hơn $a$. Mỗi khi một quân được đặt vào ô, ô ấy được đánh dấu; cấm đặt quân vào ô đã đánh dấu.

Tìm số nhỏ nhất $k$ sao cho với mọi cách sắp xếp các số, Pete có thể đánh dấu tất cả các ô bằng không quá $k$ quân.

Có $99$ số nguyên dương xếp thành vòng tròn. Biết rằng hai số kề nhau bất kỳ hoặc hơn kém nhau $1$, hoặc hơn kém nhau $2$, hoặc số này gấp đôi số kia. Chứng minh rằng ít nhất một số chia hết cho $3$. (S. Berlov)

Với số nguyên dương $N\gt1$, gọi $m$ là ước lớn nhất của $N$ nhỏ hơn $N$. Tìm tất cả $N$ sao cho $N+m$ là một lũy thừa của $10$.

Tất cả các ô của một bảng vuông $n\times n$ được đánh số theo một thứ tự nào đó từ $1$ đến $n^2$. Petya thực hiện các nước đi theo quy tắc sau. Ở nước đầu tiên, bạn đặt một quân vào ô tùy ý. Ở mỗi nước tiếp theo, Petya có thể đặt một quân mới vào một ô hoặc chuyển một quân từ ô mang số $a$ theo phương ngang hay dọc đến ô có số lớn hơn $a$. Mỗi khi một quân đến một ô, ô đó lập tức được tô màu; không được đặt quân vào ô đã tô. Petya cần ít nhất bao nhiêu quân để, bất kể cách đánh số ban đầu, có thể tô hết bảng sau hữu hạn nước đi?
(D. Khramtsov)

Petya và Vasya chơi trên bàn cờ $n\times n$, với $n\gt1$. Ban đầu cả bàn cờ màu trắng trừ một ô góc màu đen có đặt quân xe. Hai người luân phiên đi. Mỗi nước, người chơi chuyển xe theo phương ngang hoặc dọc; tất cả các ô xe đi qua, kể cả ô đến, đều được tô đen. Xe không được đi qua hoặc dừng trên ô đen. Ai không thể đi thì thua; Petya đi trước. Ai thắng nếu cả hai chơi đúng?

Thầy giáo cho Pete bốn số nguyên dương phân biệt. Pete tính ước chung lớn nhất của từng cặp trong bốn số đó, thu được sáu số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ và $N$, trong đó $N\gt5$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $N$.

Cho một thất giác lồi. Chọn tùy ý bốn góc của nó và tính sin của các góc ấy; với ba góc còn lại, tính cos. Biết rằng tổng bảy số thu được không phụ thuộc vào cách chọn bốn góc ban đầu. Chứng minh rằng thất giác có bốn góc bằng nhau.

Sơ đồ thất giác lồi (hình không biểu diễn điều kiện các tổng bằng nhau).

Seryozha chọn hai số nguyên dương phân biệt $a,b$. Bạn ghi vào vở bốn số $a,a+2,b,b+2$, rồi ghi lên bảng tất cả sáu tích từng cặp của bốn số trong vở. Có thể có nhiều nhất bao nhiêu số chính phương trong các số trên bảng?

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Omega$ tâm $O$. Đường tròn đường kính $AO$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$ tại $S\ne O$. Các tiếp tuyến của $\Omega$ tại $B,C$ cắt nhau ở $P$. Chứng minh $A,S,P$ thẳng hàng.

Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho trong bốn số $x-\sqrt2$, $x-1/x$, $x+1/x$ và $x^2+2\sqrt2$ có đúng một số không nguyên. (N. Agakhanov)