Cho số nguyên dương $n\ge2$. Xác định mọi giá trị có thể có của tổng
$$S=\lfloor x_2-x_1\rfloor+\lfloor x_3-x_2\rfloor+\dots+\lfloor x_n-x_{n-1}\rfloor,$$
trong đó $x_1,x_2,\dots,x_n$ là các số thực có phần nguyên lần lượt bằng $1,2,\dots,n$.
Cho tam giác $ABC$, và $D,E,F$ là các giao điểm thứ hai của những đường trung tuyến tương ứng với đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng nếu các tam giác $BDC,CEA,AFB$ có diện tích bằng nhau thì tam giác $ABC$ đều.
Gọi $M$ là trung điểm cạnh $[AD]$ của hình lập phương $ABCD'A'B'C'D'$. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng vuông góc tại $B$ với đường thẳng $BM$. Tìm tang của góc giữa hai mặt phẳng $\alpha$ và $(ACB')$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước dương của $n$ (kể cả $1,n$). Chứng minh rằng một số nguyên dương $n$ có nhiều nhất hai ước nguyên tố phân biệt thỏa mãn $\sigma(n)=2n-2$ khi và chỉ khi $n=2^k(2^{k+1}+1)$, trong đó $k$ là số nguyên không âm và $2^{k+1}+1$ là số nguyên tố.
Gọi $P,Q$ là trung điểm các đường chéo $BD,AC$ của tứ giác $ABCD$. Xét các điểm $M\in(BC)$, $N\in(CD)$, $R\in(PQ)$, $S\in(AC)$ sao cho $\frac{BM}{MC}=\frac{DN}{NC}=\frac{PR}{RQ}=\frac{AS}{SC}=k$. Chứng minh trọng tâm tam giác $AMN$ nằm trên đoạn $[RS]$.
Cho $A$ là ma trận khả nghịch thuộc $M_4(\mathbb R)$, thỏa mãn $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}A^*\ne0$, trong đó $A^*$ là ma trận phụ hợp của $A$. Chứng minh $A^2+I_4$ suy biến khi và chỉ khi tồn tại ma trận khác không $B\in M_4(\mathbb R)$ sao cho $AB=-BA$.
Cho số nguyên $n\gt 1$ và tập hữu hạn $S$ có hơn $n+1$ phần tử. Xét tập hợp tất cả các họ $\mathcal A$ gồm các tập con của $S$ thỏa mãn:
(a) Mỗi phần tử của $\mathcal A$ chứa ít nhất $n$ phần tử của $S$;
(b) Mỗi phần tử của $S$ thuộc ít nhất $n$ phần tử của $\mathcal A$.
Xác định $\max_{\mathcal A}\min_{\mathcal B}|\mathcal B|$, trong đó $\mathcal B$ chạy qua mọi họ con của $\mathcal A$ có hợp bằng $S$, còn $\mathcal A$ chạy qua tập hợp nêu trên.
Gọi $M$ là tập các số đối xứng có dạng $5n+4$, với $n\ge0$ nguyên. (Một số nguyên dương là số đối xứng nếu không đổi khi đảo ngược thứ tự các chữ số. Ví dụ: 7, 191, 23532, 3770773 là các số đối xứng.)
a) Nếu viết các phần tử của $M$ theo thứ tự tăng dần, số thứ 50 là số nào?
b) Trong các số thuộc $M$ chỉ có chữ số khác 0 và tổng chữ số bằng 2014, số lớn nhất và số nhỏ nhất là những số nào?
Trong hình hộp đứng $ABCD'A'B'C'D'$, với $AB=12\sqrt3$ cm và $AA'=18$ cm, xét các điểm $P\in[AA']$, $N\in[A'B']$ sao cho $A'N=3B'N$. Xác định độ dài đoạn $[AP]$ để với mọi vị trí của $M\in[BC]$, tam giác $MNP$ vuông tại $N$.
Damian Marinescu
Hình bổ sung minh họa trường hợp chủ định có đáy chữ nhật; giả thiết thêm này được bàn riêng trong phần bình luận.
Cho tam giác $ABC$ có $m(\hat A)=135^\circ$. Đường vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $A$ cắt cạnh $[BC]$ tại $D$, và đường phân giác góc $B$ cắt cạnh $[AC]$ tại $E$. Tìm số đo $\widehat{BED}$.
Tìm mọi số thực $x,y,z\in(0,1)$ đồng thời thỏa mãn:
$$\begin{cases}(x^2+y^2)\sqrt{1-z^2}\ge z\\(y^2+z^2)\sqrt{1-x^2}\ge x\\(z^2+x^2)\sqrt{1-y^2}\ge y.\end{cases}$$
Cho số nguyên $n\ge2$. Chứng minh tồn tại $n+1$ số đôi một khác nhau $x_1,x_2,\ldots,x_n,x_{n+1}$ thuộc $\mathbb Q\setminus\mathbb Z$ sao cho $\{x_1^3\}+\{x_2^3\}+\cdots+\{x_n^3\}=\{x_{n+1}^3\}$, trong đó $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x$.
Cho hàm liên tục $f:[0,1]\to[0,1]$ và hai điểm $x_0,y_0\in[0,1]$. Định nghĩa các dãy $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ và $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ trong $[0,1]$ bởi
$$x_{n+1}=\frac{f(x_0)+\cdots+f(x_n)}{n+1}\quad\text{và}\quad y_{n+1}=f\left(\frac{y_0+\cdots+y_n}{n+1}\right).$$
Rõ ràng các định nghĩa này là hợp lệ. Chứng minh hai dãy $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ và $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ.
