Câu hỏi 20
Cho hàm liên tục $f:[0,1]\to[0,1]$ và hai điểm $x_0,y_0\in[0,1]$. Định nghĩa các dãy $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ và $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ trong $[0,1]$ bởi
$$x_{n+1}=\frac{f(x_0)+\cdots+f(x_n)}{n+1}\quad\text{và}\quad y_{n+1}=f\left(\frac{y_0+\cdots+y_n}{n+1}\right).$$
Rõ ràng các định nghĩa này là hợp lệ. Chứng minh hai dãy $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ và $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ.
$$x_{n+1}=\frac{f(x_0)+\cdots+f(x_n)}{n+1}\quad\text{và}\quad y_{n+1}=f\left(\frac{y_0+\cdots+y_n}{n+1}\right).$$
Rõ ràng các định nghĩa này là hợp lệ. Chứng minh hai dãy $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ và $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ.