MathNet 2013

Cho $m$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu Mari viết ít nhất $m+3$ số lên bảng thì Jüri có thể chọn 4 số trong đó sao cho tổng của hai số và tổng của hai số còn lại có cùng số dư khi chia cho $m$.

Cho một số thập phân hữu hạn. Juku tiếp tục viết thêm các chữ số vào cuối số đó sao cho mỗi chữ số mới bằng số dư của tổng tất cả các chữ số đã có khi chia cho $10$. (Ví dụ, nếu số ban đầu là $27.35$ thì các chữ số thêm vào lần lượt là $7,4,8$, v.v.) Chứng minh số thập phân vô hạn nhận được biểu diễn một số hữu tỉ.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $r\ge2$, tồn tại đồ thị đơn (không có khuyên, không có cạnh bội) có sắc số $r$ và không có chu trình nào ít hơn $6$ cạnh.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ trên mặt phẳng với $\angle DAB+\angle ABC\lt180^\circ$. Lấy $E$ trên đoạn $AB$, khác các đỉnh của tứ giác, sao cho các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AED$ và $BEC$ cắt nhau tại điểm $F$ ở bên trong tứ giác $ABCD$. Xác định $G$ sao cho $\angle DCG=\angle DAB$, $\angle CDG=\angle ABC$ và tam giác $CDG$ nằm ngoài tứ giác $ABCD$. Chứng minh $E,F,G$ thẳng hàng.

Trong mặt phẳng tọa độ Descartes, gọi $P,Q$ là hai miền đa giác lồi (gồm cả biên và phần trong) có mọi đỉnh là điểm nguyên (tức là các tọa độ đều nguyên), và $T=P\cap Q$. Chứng minh rằng nếu $T$ khác rỗng và không chứa điểm nguyên thì $T$ là một tứ giác lồi không suy biến. (Qu Zhenhua đề xuất)

Tùy theo số nguyên dương $k$, hãy tìm số thực nhỏ nhất $D_k$ sao cho
$$ (abc)^2+(bcd)^2+(cda)^2+(dab)^2\le D_k $$
với mọi số thực không âm $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^k+b^k+c^k+d^k=4$.

Cho tam giác cân $ABC$ có đáy $\overline{AB}$. Chọn $P$ trên đoạn $\overline{AC}$ và $Q$ trên đoạn $\overline{BC}$ sao cho $|AP|+|BQ|=|PQ|$. Đường thẳng qua trung điểm của $\overline{PQ}$ và song song với $BC$ cắt đoạn $\overline{AB}$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $PNQ$ cắt đường thẳng $AC$ tại $P,K$ và đường thẳng $BC$ tại $Q,L$. Gọi $R$ là giao điểm của $PL$ và $QK$. Chứng minh $PQ\perp CR$. (Stipe Vidak)

Malle vẽ một hình thoi $ABCD$ rồi chọn các điểm $E,F$ lần lượt trên các cạnh $AB,BC$ sao cho tam giác $DEF$ đều. Malle rất ngạc nhiên khi phát hiện còn một cách khác để chọn $E,F$ lần lượt trên $AB,BC$ sao cho $DEF$ đều. Các góc của hình thoi này có thể bằng bao nhiêu?


Hình 17

Kéo dài cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ qua $C$ đến $D$ sao cho $CD=BC$. Kéo dài cạnh $CA$ qua $A$ đến $E$ sao cho $AE=2CA$.
Chứng minh rằng nếu $AD=BE$ thì tam giác $ABC$ vuông.

Cho các số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$. Chứng minh bất đẳng thức
$$\begin{aligned}
&\frac{a_1^3}{a_1^2+a_2a_3}+\frac{a_2^3}{a_2^2+a_3a_4}+\cdots\\
&\quad+\frac{a_{n-1}^3}{a_{n-1}^2+a_na_1}+\frac{a_n^3}{a_n^2+a_1a_2}\ge\frac12.
\end{aligned}$$

Giải trong tập số thực hệ phương trình
$$\begin{aligned}\sin^2x+\cos^2y&=\tan^2z,\\\sin^2y+\cos^2z&=\tan^2x,\\\sin^2z+\cos^2x&=\tan^2y.\end{aligned}$$

Trong tích
$$\left(1+\frac11\right)\cdot\left(1+\frac13\right)\cdot\left(1+\frac15\right)\cdots\left(1+\frac1{2n-1}\right),$$
mẫu số của các phân số là tất cả số lẻ từ $1$ đến $2n-1$. Có thể chọn số tự nhiên $n\gt1$ để tích này là số nguyên hay không?

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh
$$\frac1{1+a^{2014}}+\frac1{1+b^{2014}}+\frac1{1+c^{2014}}\gt1.$$

Một bảng $(2k+1)\times(2k+1)$, với $k$ là số nguyên dương, chứa một số thực ở mỗi ô và các số đôi một khác nhau. Sau mỗi hàng, viết trung vị của hàng đó, tức số trong hàng sao cho có cùng số lượng các số nhỏ hơn và lớn hơn nó trong hàng. Gọi $m$ là trung vị của cột các trung vị. Chứng minh hơn một phần tư các số ban đầu trong bảng nhỏ hơn $m$.

Tìm tất cả nghiệm thực của hệ
$$\begin{aligned}x^2-y&=z^2\\y^2-z&=x^2\\z^2-x&=y^2.\end{aligned}$$

Có101 người ngồi quanh bàn tròn theo thứ tự tùy ý. Người thứ$k$ có$k$ lá bài, $k=1,\ldots,101$. Một lần chuyển là việc một người đưa một lá bài cho một trong hai người ngồi cạnh. Tìm số nguyên dương$k$ nhỏ nhất sao cho với mọi thứ tự chỗ ngồi đều có cách dùng không quá$k$ lần chuyển để mỗi người có51 lá bài.

Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b$ sao cho tồn tại ba số nguyên liên tiếp tại đó đa thức
$$P(n)=\frac{n^5+a}{b}$$
nhận giá trị nguyên.

Một tập không rỗng $A\subseteq\{1,2,3,\ldots,n\}$ được gọi là tập tốt bậc$n$ nếu $|A|\le\min_{x\in A}x$. Gọi$a_n$ là số tập tốt bậc$n$. Chứng minh $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n+1$ với mọi số nguyên dương$n$. (Đề xuất: Li Weigu)

Tìm tất cả các số nguyên $m$ sao cho hình vuông $m\times m$ có thể chia thành năm hình chữ nhật, với độ dài các cạnh của chúng là các số nguyên $1,2,3,\ldots,10$ theo một thứ tự nào đó.

Cho tam giác $ABC$. Tìm quỹ tích các điểm X trong mặt phẳng ABC sao cho các điểm đối xứng của X qua các đường thẳng AB,BC,CA là ba đỉnh của một tam giác đều.