Cho $n \geqslant 1$ là một số nguyên. Với mỗi tập con khác rỗng $A$ của $\{1,2, \ldots, n\}$, ký hiệu $P(A)$ là tích của tất cả các phần tử của $A$. Ví dụ, với $A=\{2,4,7\}$, ta có $P(A)=56$. Hãy xác định tổng các số $\frac{1}{P(A)}$ khi $A$ chạy qua tất cả các tập con khác rỗng của $\{1,2, \ldots, n\}$.
Một quốc gia có $2018 n+1$ thành phố, trong đó $n$ là một số tự nhiên khác $0$. Một số cặp thành phố được nối với nhau bằng các tuyến đường sắt trực tiếp, sao cho giữa hai thành phố có nhiều nhất một tuyến; mỗi tuyến chạy theo cả hai chiều. Khi đó khoảng cách giữa hai thành phố $A$ và $B$ là số tuyến ít nhất cần đi để từ $A$ đến $B$.
Tìm tập hợp các số nguyên $n$ sao cho có thể xây dựng một mạng lưới đường sắt thỏa mãn tiêu chí sau:
Với mọi thành phố $C$ và mọi $i \in \{1,2, \ldots, 2018\}$, có đúng $n$ thành phố cách $C$ một khoảng bằng $i$.
Trong mặt phẳng cho 16 điểm đôi một phân biệt, ký hiệu là $A_{i, j}$ với $i, j \in \{1,2,3,4\}$. Các điểm này thỏa mãn các quan hệ thẳng hàng và đồng viên sau:
$\triangleright$ với mọi $i \in \{1,2,3,4\}$, các điểm $A_{i, 1}, A_{i, 2}, A_{i, 3}$ và $A_{i, 4}$ thẳng hàng;
$\triangleright$ với mọi $j \in \{1,2,3,4\}$, các điểm $A_{1, j}, A_{2, j}, A_{3, j}$ và $A_{4, j}$ thẳng hàng;
$\triangleright$ các tứ giác $A_{1,1} A_{1,2} A_{2,2} A_{2,1}, A_{2,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{3,1}, A_{3,1} A_{3,2} A_{4,2} A_{4,1}, A_{1,2} A_{1,3} A_{2,3} A_{2,2}$, $A_{1,3} A_{1,4} A_{2,4} A_{2,3}, A_{1,1} A_{2,2} A_{2,3} A_{1,4}$ và $A_{1,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{4,1}$ là các tứ giác nội tiếp.
Chứng minh rằng tứ giác $A_{4,1} A_{3,2} A_{3,3} A_{4,4}$ cũng nội tiếp.
Chú ý: một tứ giác được gọi là nội tiếp nếu bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn.
Một số nguyên $k$ được gọi là số olympic nếu tồn tại bốn số nguyên $a, b, c$ và $d$, tất cả đều nguyên tố cùng nhau với $k$, sao cho $k$ chia hết $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}$. Cho $n$ là một số nguyên bất kỳ.
Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab + bc + ca \ge 1$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \ge \frac{\sqrt{3}}{abc}.
$$
Tìm số các số nguyên không âm $k$, $0 \le k \le 2188$, sao cho $\binom{2188}{k}$ chia hết cho $2188$.
(Chú ý rằng hệ số nhị thức được định nghĩa bởi $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.)
Đường tròn nội tiếp tam giác $\triangle ABC$, với tâm nội tiếp $I$, tiếp xúc với $BC$, $CA$ và $AB$ lần lượt tại $D$, $E$ và $F$. Đường thẳng $EF$ cắt các đường thẳng $BI$, $CI$, $BC$ và $DI$ lần lượt tại các điểm $K$, $L$, $M$ và $Q$. Đường thẳng đi qua trung điểm của $CL$ và $M$ cắt $CK$ tại $P$.
a. Tính $\angle BKC$.
b. Chứng minh rằng các đường thẳng $PQ$ và $CL$ song song.
Tìm tất cả các số nguyên $n \ge 3$ có tính chất sau: tồn tại $n$ điểm phân biệt trong mặt phẳng sao cho mỗi điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác tạo bởi 3 trong số các điểm đó.
Một trường học có $1200$ học sinh. Mỗi học sinh phải tham gia đúng $k$ câu lạc bộ. Biết rằng với mọi nhóm $23$ học sinh luôn có một câu lạc bộ mà cả nhóm cùng tham gia, nhưng không có câu lạc bộ nào mà cả $1200$ học sinh cùng tham gia. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $k$.
Cho tam giác $ABC$ với $AB = AC$. Một đường tròn $\Gamma$ nằm ngoài tam giác $ABC$ và tiếp xúc với đường thẳng $AC$ tại $C$. Điểm $D$ nằm trên $\Gamma$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ tiếp xúc trong với $\Gamma$. Đoạn thẳng $AD$ cắt $\Gamma$ lần thứ hai tại $E$. Chứng minh rằng $BE$ tiếp xúc với $\Gamma$.
Có ba đống đồng xu, lần lượt có $a$, $b$ và $c$ đồng xu, trong đó $a$, $b$, $c \ge 2015$ là các số nguyên dương. Cho phép các thao tác sau:
(1) Chọn một đống có số chẵn đồng xu và lấy hết đồng xu khỏi đống đó. Thêm vào mỗi đống còn lại một số đồng xu bằng một nửa số đã lấy ra; hoặc
(2) Chọn một đống có số lẻ đồng xu và có ít nhất $2017$ đồng xu. Lấy ra $2017$ đồng xu từ đống này. Thêm $1009$ đồng xu vào mỗi đống còn lại.
Giả sử có đủ nhiều đồng xu dự trữ. Tìm tất cả các bộ ba có thứ tự $(a, b, c)$ sao cho sau một dãy hữu hạn các thao tác được phép, tồn tại một đống có ít nhất $2017^{2017}$ đồng xu.
Cho tam giác $ABC$, gọi $D$ là một điểm nằm trong đoạn thẳng $BC$. Gọi $P$ và $Q$ là hai điểm phân biệt nằm trong đoạn thẳng $AD$. Đặt $K = BP \cap AC$, $L = CP \cap AB$, $E = BQ \cap AC$, $F = CQ \cap AB$. Biết rằng $KL \parallel EF$, hãy tìm tất cả các giá trị có thể của tỉ số $BD : DC$.
Các đường cao $AD$ và $BE$ của tam giác nhọn $ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ với đường thẳng song song với cạnh $BC$ và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh rằng $\angle CMF = 90^\circ$.
Với số tự nhiên $n$ nào thì có thể đặt các số tự nhiên từ $1$ đến $3n$ lên các cạnh của một lăng trụ đứng $n$-giác (trên mỗi cạnh đặt đúng một số và mỗi số được dùng đúng 1 lần) sao cho tổng tất cả các số bao quanh mỗi mặt đều bằng nhau?
Cho một tập hợp $S$ bất kỳ gồm các số nguyên dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai khẳng định sau là đúng:
(1) Tồn tại hai tập con hữu hạn phân biệt $F$ và $G$ của $S$ sao cho $\sum_{x \in F} 1 / x = \sum_{x \in G} 1 / x$;
(2) Tồn tại một số hữu tỉ dương $r \lt 1$ sao cho $\sum_{x \in F} 1 / x \neq r$ với mọi tập con hữu hạn $F$ của $S$.
Tìm tất cả các hàm số $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
\left(x+\frac{1}{x}\right) f(y)=f(x y)+f\left(\frac{y}{x}\right) \tag{1}
$$
với mọi $x, y \gt 0$.
Cho $m, n \geqslant 2$ là các số nguyên. Cho $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ là một đa thức hệ số thực sao cho
$$
f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\lfloor\frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{m}\right\rfloor \text{ với mọi } x_{1}, \ldots, x_{n} \in\{0,1, \ldots, m-1\} .
$$
Chứng minh rằng bậc toàn phần của $f$ ít nhất là $n$.