MathNet 2019-part-07 — 184 bài (EN–VI)

Cho tam giác $ABC$ có $\angle CAB = 2 \cdot \angle ABC$. Giả sử tồn tại một điểm $D$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $AD = BD$ và $CD = AC$. Chứng minh rằng $\angle ACB = 3 \cdot \angle DCB$.

Cho $k$ là một đường tròn tâm $O$ và $A$, $B$, $C$ là ba điểm trên $k$ với $\angle ABC \gt 90^{\circ}$. Đường phân giác của góc $\angle AOB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ lần thứ hai tại $D$. Chứng minh rằng $D$ nằm trên đường thẳng $AC$.

Cho $k_{1}$ là một đường tròn và $l$ là một đường thẳng cắt $k_{1}$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Cho $k_{2}$ là một đường tròn khác nằm ngoài $k_{1}$, tiếp xúc với $k_{1}$ tại $C$ và tiếp xúc với $l$ tại $D$. Gọi $T$ là giao điểm thứ hai của $k_{1}$ và đường thẳng $CD$. Chứng minh rằng $AT = TB$.

Cho $n$ là một số nguyên dương. Maurice viết trên cùng một dòng tất cả $2^{n}-1$ tập con khác rỗng của tập $\{1,2, \ldots, n\}$. Sau đó, bên dưới mỗi tập con, anh ấy viết tích các phần tử của nó. Cuối cùng, anh ấy viết nghịch đảo của các số ở dòng thứ hai và tính tổng của chúng. Tổng mà Maurice thu được có giá trị bằng bao nhiêu (theo $n$)?

Ví dụ: với $n=3$, Maurice thu được

| $\{1\}$ | $\{2\}$ | $\{3\}$ | $\{1,2\}$ | $\{1,3\}$ | $\{2,3\}$ | $\{1,2,3\}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 2 | 3 | $1 \cdot 2=2$ | $1 \cdot 3=3$ | $2 \cdot 3=6$ | $1 \cdot 2 \cdot 3=6$ |
| $\frac{1}{1}+$ | $\frac{1}{2}+$ | $\frac{1}{3}+$ | $\frac{1}{2}+$ | $\frac{1}{3}+$ | $\frac{1}{6}+$ | $\frac{1}{6}=3$. |

Cho $n$ là một số tự nhiên. Một đội bóng chuyền gồm $n$ nữ và $n$ nam xếp đội hình cho một trận đấu. Mỗi thành viên của đội đứng ở một trong các vị trí $1,2, \ldots, 2 n$, trong đó đúng hai vị trí $1$ và $n+1$ nằm ngoài sân. Trong trận đấu, tất cả các thành viên xoay vòng, mỗi người chuyển từ vị trí $i$ sang vị trí $i+1$ (tương ứng từ $2 n$ sang $1$). Có bao nhiêu cách xếp đội hình xuất phát sao cho trên sân luôn có ít nhất $n-1$ nữ, bất kể xoay vòng bao nhiêu lần?

Chú ý: Hai đội hình xuất phát được coi là khác nhau nếu có ít nhất một thành viên đứng ở vị trí khác.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho
$$
a b+2=a^{3}+2 b
$$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n \geq 2$ có biểu diễn dạng
$$
n = k^{2} + d^{2}
$$
trong đó $k$ là ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của $n$ và $d$ là một ước bất kì của $n$.

Kí hiệu $Q_{\gt 0}$ là tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương. Tìm tất cả các hàm số $f: Q_{\gt 0} \to Q_{\gt 0}$ thỏa mãn
$$
f(x^2 f(y)^2) = f(x)^2 f(y), \text{ với mọi } x, y \in Q_{\gt 0}.
$$

Cho một tập hợp $S$ gồm các số nguyên dương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai mệnh đề sau là đúng:

(1) Tồn tại hai tập con hữu hạn phân biệt $F$ và $G$ của $S$ sao cho
$$
\sum_{x \in F} \frac{1}{x} = \sum_{x \in G} \frac{1}{x};
$$
(2) Tồn tại một số hữu tỉ dương $r \lt 1$ sao cho với mọi tập con hữu hạn $F$ của $S$,
$$
\sum_{x \in F} \frac{1}{x} \neq r.
$$

Trong mặt phẳng cho một đường tròn $\omega$ bán kính $1$. Một tập hợp $T$ các tam giác được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) mọi tam giác trong $T$ đều nội tiếp $\omega$,
(ii) không có hai tam giác nào trong $T$ có điểm trong chung.
Tìm tất cả các số thực dương $t$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, đều tồn tại một tập tốt $T$ gồm $n$ tam giác, mỗi tam giác có chu vi lớn hơn $t$.

Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + d = 4$. Chứng minh rằng
$$
\sum_{\text{cyc}} \frac{3a^3}{a^2 + ab + b^2} + \sum_{\text{cyc}} \frac{2ab}{a+b} \geq 8.
$$

Xét dãy số $a_0, a_1, a_2, \dots$, trong đó $a_n = 2^n + 2^{\lfloor n/2 \rfloor}$. Chứng minh rằng có vô hạn số hạng của dãy có thể viết được thành tổng của hai hay nhiều số hạng phân biệt của dãy, và cũng có vô hạn số hạng không thể viết được thành tổng như vậy.

Cho $n$ là một số nguyên dương lớn hơn 3. Trong một căn phòng có $n$ người, trong đó một số cặp người là kẻ thù của nhau (quan hệ thù địch là hai chiều). Giả sử ta biết nhóm người này đồng thời thỏa mãn hai tính chất sau:

a. Trong 4 người bất kì, luôn có hai người không thù địch nhau.

b. Với mọi số nguyên dương $m \ge 1$, nếu ta tìm được $m$ người trong số đó đôi một không thù địch nhau, thì trong $n-m$ người còn lại phải có 3 người mà hai người bất kì trong số họ đều thù địch nhau. (Chú ý: không ai thù địch với chính mình.)

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường tròn nội tiếp $\omega$, đường tròn ngoại tiếp $\Omega$, và $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Đường tròn nội tiếp $\omega$ tiếp xúc với $CA$, $AB$ lần lượt tại $E$, $F$; đường thẳng $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\Omega$ tại hai điểm $P$, $Q$. Trên đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của $\triangle MPQ$ lấy một điểm $R$ sao cho $MR$ vuông góc với $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AR$, đường tròn $\Gamma$ và đường tròn $\omega$ cùng đi qua một điểm.

Alice và Bob lập đội chơi một trò chơi. Khi trò chơi bắt đầu, hai người được thả vào hai vị trí trên một đoàn tàu có tổng chiều dài $1$ kilômét. Đoàn tàu kín và tối hoàn toàn, nên trừ khi đang ở đầu tàu hoặc đuôi tàu, họ không biết vị trí của mình, và cũng không có cách nào biết vị trí của đồng đội. Trò chơi phát cho mỗi người một thiết bị, nửa bên trái của thiết bị hiển thị:
- người cầm thiết bị hiện đang quay mặt về hướng nào (nên họ có thể chọn di chuyển về phía đầu tàu hoặc đuôi tàu);
- tổng quãng đường người cầm thiết bị đã di chuyển cho đến lúc đó;
- người cầm thiết bị hiện có đang chạm đầu tàu hay không;
- người cầm thiết bị hiện có đang chạm đuôi tàu hay không.
Nửa bên phải của thiết bị hiển thị thông tin trên nửa bên trái của thiết bị của đồng đội. Trò chơi kết thúc ngay khi hai người gặp nhau (vị trí của hai người trùng nhau).
Giả sử trước khi trò chơi bắt đầu, Alice và Bob được thông báo đầy đủ về tình trạng đoàn tàu và mọi chức năng của thiết bị, và có thể cùng bàn bạc chiến thuật trước. Tìm số thực $x$ nhỏ nhất sao cho Alice và Bob có một chiến thuật đảm bảo rằng, bất kể lúc bắt đầu hai người được đặt ở vị trí nào, khi trò chơi kết thúc tổng quãng đường hai người đã di chuyển không vượt quá $x$ kilômét.

Lão Triệu đi nghĩa vụ quân sự buồn chán quá, nên vẽ trên mặt đất $n + 1$ ô xếp thành một hàng ($n$ là số nguyên dương), đánh số từ trái sang phải là ô 0 đến ô $n$. Ban đầu, ô 0 có $n$ viên đá, các ô khác đều trống. Ở mỗi lượt, Lão Triệu trước hết chọn một ô khác rỗng, giả sử ô đó có $k$ viên đá. Sau đó, anh ấy lấy một viên đá từ ô đã chọn và di chuyển nó sang phải tối đa $k$ ô (viên đá không được vượt quá ô ngoài cùng bên phải). Mục tiêu của Lão Triệu là đưa tất cả các viên đá vào ô thứ $n$.
Chứng minh rằng số lượt Lão Triệu cần để đạt mục tiêu không ít hơn
$$
\left\lceil \frac{n}{1} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n}{3} \right\rceil + \cdots + \left\lceil \frac{n}{n} \right\rceil,
$$
trong đó $\lceil x \rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z, t$ thỏa mãn
$$
xy - zt = x + y = z + t
$$
sao cho $xy$ và $zt$ đều là số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ và tâm bàng tiếp trong góc $A$ là $J$. Gọi $\overline{AA'}$ là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$, và $H_1, H_2$ lần lượt là trực tâm của $\triangle BIA'$, $\triangle CJA'$. Chứng minh rằng $H_1H_2$ song song với $BC$.

Trong mặt phẳng cho tam giác $ABC$ và một điểm $P$. Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp của $\triangle ABC$, $\triangle BPC$, $\triangle CPA$, $\triangle APB$ lần lượt là các điểm $O$, $D$, $E$, $F$. Đường thẳng $BC$ cắt $EF$ tại điểm $T$, và $X$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $EF$. Chứng minh rằng $PT \perp DX$.

Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập hợp tất cả các số thực. Tìm tất cả các hàm số $f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$ \left(x + \frac{1}{x}\right) f(y) = f(xy) + f\left(\frac{y}{x}\right), \text{ với mọi } x, y \gt 0. $$