Hai đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ có tâm lần lượt là $O_1$ và $O_2$ cắt nhau tại điểm $X$. Đường thẳng $XO_1$ cắt $\omega_1$ tại các điểm $X$ và $A$. Đường thẳng $XO_2$ cắt $\omega_2$ tại các điểm $X$ và $B$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Tia $MO_1$ cắt $\omega_1$ tại điểm $D$, và tia $MO_2$ cắt $\omega_2$ tại điểm $C$.
Hai đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ có tâm lần lượt là $O_1$ và $O_2$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $E$ và $F$. Đường thẳng $O_1E$ cắt $\omega_1$ lần thứ hai tại điểm $A$, và cắt $\omega_2$ lần thứ hai tại điểm $C$. Đường thẳng $O_2E$ cắt $\omega_2$ lần thứ hai tại điểm $B$, và cắt $\omega_1$ lần thứ hai tại điểm $D$.
Chứng minh rằng các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng $AC, BD$ và $DC$, lần lượt đi qua $O_1, O_2$ và $E$, đồng quy.
(A. Voidelevich)
Một quốc gia có $n \ge 5$ thành phố. Một số thành phố được nối với nhau bởi các con đường, và ba điều kiện sau được thỏa mãn:
1) giữa hai thành phố bất kì có nhiều nhất một con đường;
2) không phải mọi cặp thành phố đều được nối với nhau;
3) giữa bốn thành phố bất kì có đúng $k \ge 1$ con đường.
Tìm tất cả các giá trị $n$ và $k$ để tình huống này có thể xảy ra.
Mỗi ô của một bảng $n \times n$ được điền một trong hai dấu: «+» và «-». Với mỗi $k$ từ $1$ đến $n$, số dấu cộng trong $k$ hàng đầu tiên lớn hơn số dấu trừ trong $k$ cột đầu tiên.
Tìm số dấu trừ lớn nhất có thể có trong bảng.
Peter và Andrey chơi một trò chơi trên bảng $n \times 1$, lần lượt thực hiện các nước đi. Peter đi trước, và đến lượt mình anh ấy đặt «+» vào một ô trống bất kì. Đến lượt mình Andrey đặt «-» vào một ô trống bất kì. Trò chơi kết thúc khi tất cả các ô đã được điền. Phần thưởng của Peter bằng số $k$ lớn nhất sao cho với mỗi $\ell$ từ 1 đến $k$ đều có $\ell$ ô liên tiếp mà số dấu cộng trên đó lớn hơn số dấu trừ.
Tìm phần thưởng lớn nhất mà Peter có thể đảm bảo cho mình.
a) Cho $a, b, c, d$ là các số thực với $0 \leqslant a, b, c, d \leqslant 1$. Chứng minh rằng
$$
a b(a-b)+b c(b-c)+c d(c-d)+d a(d-a) \leqslant \frac{8}{27}
$$
b) Tìm tất cả các bộ bốn số thực $(a, b, c, d)$ với $0 \leqslant a, b, c, d \leqslant 1$ mà đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức trên.
Các quân tốt và quân xe được đặt trên một bàn cờ $2019 \times 2019$, mỗi ô trong $2019^{2}$ ô có nhiều nhất một quân. Một quân xe nhìn thấy một quân xe khác nếu chúng nằm trên cùng một hàng hoặc một cột và mọi ô giữa chúng đều trống. Số $p$ lớn nhất là bao nhiêu để có thể đặt $p$ quân tốt và $p+2019$ quân xe lên bàn cờ sao cho không có hai quân xe nào nhìn thấy nhau?
Hai đường tròn $\Gamma_{1}$ và $\Gamma_{2}$ cắt nhau tại các điểm $A$ và $Z$ (với $A \neq Z$). Gọi $B$ là tâm của $\Gamma_{1}$ và $C$ là tâm của $\Gamma_{2}$. Đường phân giác ngoài của góc $\angle B A C$ cắt $\Gamma_{1}$ lần thứ hai tại $X$ và cắt $\Gamma_{2}$ lần thứ hai tại $Y$. Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\angle B Z C$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle X Y Z$.
Với các điểm $P, Q, R$ nằm trên một đường thẳng $\ell$ theo thứ tự đó, và một điểm $S$ không nằm trên $\ell$, đường phân giác trong của góc $\angle P Q S$ là đường thẳng chia góc $\angle P Q S$ thành hai góc bằng nhau, còn đường phân giác ngoài của góc $\angle P Q S$ là đường thẳng chia góc $\angle R Q S$ thành hai góc bằng nhau.
Một số nguyên $m \gt 1$ được gọi là giàu nếu với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại các số nguyên dương $x, y, z$ sao cho $n = m x^{2} - y^{2} - z^{2}$. Một số nguyên $m \gt 1$ được gọi là nghèo nếu nó không giàu.
Một số được gọi là số TOP nếu nó có 5 chữ số và tích của chữ số thứ nhất và chữ số thứ năm bằng tổng của các chữ số thứ hai, thứ ba và thứ tư. Ví dụ, $12338$ là số TOP vì nó có 5 chữ số và $1 \cdot 8 = 2 + 3 + 3$.
a) Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu để $\overline{234a8}$ là số TOP?
b) Có bao nhiêu số TOP tận cùng bằng 2 và bắt đầu bằng 1?
Mỗi số từ $1$ đến $13$ được viết vào một trong các hình tròn của bông tuyết trong hình dưới đây, sao cho tổng của $5$ số trên mỗi đường thẳng và tổng của $7$ số ở phần trung tâm của hình đều bằng nhau. Tìm tổng đó, biết rằng nó là nhỏ nhất trong các tổng thỏa mãn các điều kiện trên.
Ban đầu, trên bảng đen có viết số $1$ và hai số dương $x$ và $y$. Trong mỗi bước, người chơi có thể chọn hai số trên bảng, không nhất thiết phân biệt, và viết tổng hoặc hiệu của chúng lên bảng. Ta cũng có thể chọn một số khác $0$ trên bảng và viết nghịch đảo của nó. Hãy mô tả cách để, sau hữu hạn bước, ta nhận được các số sau:
Một hình hộp chữ nhật được xây bằng cách xếp chồng các khối lập phương nhỏ có cạnh $1~\mathrm{cm}$; chiều dài của nó gồm $n$ khối lập phương nhỏ, chiều rộng gồm $p$ khối và chiều cao gồm $q$ khối.
a) Thể tích của hình hộp là bao nhiêu?
b) Sơn các mặt của hình hộp màu đỏ, có bao nhiêu khối lập phương nhỏ có đúng một mặt được sơn đỏ?
c) Lấy một hình hộp như trong đề bài với $n=p=q$. Nếu ta tăng mỗi kích thước của nó thêm $a$, trong đó $a$ là một số tự nhiên, thì khối lập phương mới có nhiều hơn khối lập phương ban đầu 98 khối nhỏ. Tìm các giá trị của $n$ và $a$.
Đoạn thẳng $AB$ dài $16~\mathrm{cm}$ là đường kính của một đường tròn tâm $O$. Một cát tuyến cắt đường tròn tại $C$ và $D$ và cắt đường thẳng $AB$ tại $P$, như trong hình dưới đây. Nếu $OD = DP$ và $\angle APC = 18^\circ$ thì số đo góc $\angle AOC$ bằng bao nhiêu?
Hình dưới đây biểu diễn một giá sách có hai ngăn với năm chồng sách, trong đó ba chồng có hai cuốn và hai chồng chỉ có một cuốn. Alice và Luiz nghĩ ra một trò chơi trong đó mỗi người lần lượt lấy đi một hoặc hai cuốn sách từ một trong các chồng sách. Người lấy cuốn sách cuối cùng thắng. Alice đi trước. Ai trong hai người có chiến lược thắng, bất kể đối thủ đi như thế nào?
Một máy cắt cỏ hiệu quả hơn đang được phát triển. Để làm điều đó, tại một đỉnh của một bãi cỏ hình vuông cạnh $m$, người ta gắn một đầu của một thanh kim loại dài $p$, và ở đầu kia của thanh người ta gắn một tam giác đều cạnh $l$ tại một trong các đỉnh của nó, trong đó $p+l\lt m$. Tam giác quay rất nhanh quanh khớp nối với thanh, còn thanh quay rất chậm quanh khớp nối tại đỉnh của hình vuông; tức là toàn bộ cỏ bên dưới tam giác đều bị cắt, tạo thành một phần của hình vành khăn. Diện tích phần cỏ bị cắt là bao nhiêu?
Lọ nước hoa có dạng hình trụ và cần làm một bao bì hình bông hoa để đựng nó. Để làm bao bì này, người ta dùng một tờ giấy hình vuông cạnh $n$, bốn cung tròn có tâm tại các đỉnh của hình vuông và bán kính $n$, cùng một đường tròn tiếp xúc với các cung này.
a) Bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu?
b) Diện tích của phần sáng nhất trong hình bằng bao nhiêu?
Trong hình vuông kì diệu dưới đây, mỗi số nguyên từ $1$ đến $25$ được đặt vào các ô vuông nhỏ sao cho tổng trên mọi hàng, mọi cột, cũng như trên hai đường chéo, đều bằng nhau. Biết rằng số ở ô chính giữa là $18$, tổng các số được viết trong các ô tô đậm bằng bao nhiêu?
$2019$ tủ đồ của $2019$ học sinh một trường học được đánh số bằng bình phương của $2019$ số nguyên dương đầu tiên, tức là tủ thứ nhất mang số $1^{2}=1$, tủ thứ hai mang số $2^{2}=4$, tủ thứ ba mang số $3^{2}=9$, và cứ thế đến tủ cuối cùng mang số $2019^{2}=4076361$.
a) Cần dùng bao nhiêu chữ số để sơn số cho một trăm tủ đầu tiên?
b) Cộng tất cả các số của các tủ, chữ số hàng đơn vị của kết quả là bao nhiêu?
