Abe có thể sơn căn phòng trong $15$ giờ, Bea có thể sơn $50$ nhanh hơn Abe phần trăm và Coe có thể sơn nhanh gấp đôi Abe. Abe bắt đầu sơn căn phòng và làm việc một mình trong một tiếng rưỡi đầu tiên. Sau đó Bea tham gia cùng Abe và họ làm việc cùng nhau cho đến khi sơn xong một nửa căn phòng. Sau đó, Coe tham gia cùng Abe và Bea, họ làm việc cùng nhau cho đến khi toàn bộ căn phòng được sơn xong. Tìm số phút sau khi Abe bắt đầu để ba người họ sơn xong căn phòng.
Arnold đang nghiên cứu mức độ phổ biến của ba yếu tố nguy cơ sức khỏe, ký hiệu là $A,$ $B,$ và $C,$ trong quần thể nam giới. Đối với mỗi yếu tố trong số ba yếu tố, xác suất mà một người đàn ông được chọn ngẫu nhiên trong quần thể chỉ có rủi ro này thừa số (và không có yếu tố nào khác) là $0.1.$ Đối với hai yếu tố bất kỳ trong số ba yếu tố, xác suất mà một người đàn ông được chọn ngẫu nhiên có chính xác hai yếu tố rủi ro này (nhưng không phải yếu tố thứ ba) là $0.14.$ xác suất rằng một người đàn ông được chọn ngẫu nhiên có cả ba yếu tố rủi ro, với điều kiện là anh ta có $A$ và $B,$ là $\frac{1}{3}.$ xác suất rằng một người đàn ông không có yếu tố rủi ro nào trong số ba yếu tố rủi ro vì anh ta không có rủi ro thừa số $A$ là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
Hình chữ nhật có các cạnh có chiều dài $a$ và $36.$ Một bản lề được lắp đặt ở mỗi đỉnh của hình chữ nhật và tại điểm giữa của mỗi cạnh có chiều dài $36.$ Các cạnh có chiều dài $a$ có thể được ép về phía nhau để giữ cho hai cạnh đó song song để hình chữ nhật trở thành hình lục giác lồi như hình minh họa. Khi hình là hình lục giác có các cạnh có chiều dài $a$ song song và cách nhau một khoảng $24,$ thì hình lục giác có cùng diện tích như hình chữ nhật ban đầu. Tìm $a^2.$
Các số thập phân lặp lại $0.abab\overline{ab}$ và $0.abcabc\overline{abc}$ thỏa mãn $$
0.abab\overline{ab} + 0.abcabc\overline{abc} = \frac{33}{37},
$$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các chữ số (không nhất thiết phải khác biệt). Tìm số có ba chữ số $abc.$
Các số thực $r$ và $s$ là nghiệm của $p(x) = x^3 + ax + b,$ và $r + 4$ và $s - 3$ là nghiệm của $q(x) = x^3 + ax + b + 240.$ Tìm tổng của tất cả các giá trị có thể có của $|b|.$
Charles có hai con xúc xắc sáu mặt. Một trong hai viên xúc xắc là công bằng, và viên xúc xắc còn lại có độ lệch sao cho nó ra sáu mặt với xác suất $\frac{2}{3},$ và mỗi mặt trong số năm mặt còn lại có xác suất $\frac{1}{15}.$ Charles chọn ngẫu nhiên một trong hai viên xúc xắc và tung nó ba lần. Cho rằng hai cuộn đầu tiên đều là sáu, xác suất mà cuộn thứ ba cũng sẽ là sáu là $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$
Giả sử $f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)^{\cos(\pi x)}.$ Tìm tổng của tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $$
\left|\sum_{k=1}^{n} \log_{10} f(k)\right| = 1.
$$
Đường tròn $C$ có bán kính $2$ có đường kính $\overline{AB}.$ Đường tròn $D$ tiếp tuyến trong với đường tròn $C$ tại $A.$ Đường tròn $E$ tiếp tuyến trong với đường tròn $C,$ tiếp tuyến ngoài với đường tròn $D,$ và tiếp tuyến với $\overline{AB}.$ Bán kính đường tròn $D$ gấp ba lần bán kính đường tròn $E$ và có thể viết dưới dạng $\sqrt{m} - n,$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương. Tìm $m + n.$
Đặt $z$ là số phức với $|z| = 2014.$ Đặt $P$ là đa giác trong mặt phẳng phức có các đỉnh là $z$ và mọi $w$ sao cho $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}.$ Khi đó diện tích được bao quanh bởi $P$ có thể là được viết dưới dạng $n\sqrt{3},$ trong đó $n$ là số nguyên. Tìm số dư khi $n$ được chia cho $1000.$
Trong $\triangle RED,$ $RD = 1,$ $\angle DRE = 75^\circ$ và $\angle RED = 45^\circ.$ Đặt $M$ là trung điểm của đoạn $\overline{RD}.$ Điểm $C$ nằm trên cạnh $\overline{ED}$ sao cho $\overline{RC} \perp \overline{EM}.$ Kéo dài đoạn $\overline{DE}$ đến $E$ đến điểm $A$ sao cho $CA = AR.$ Sau đó $AE = \frac{a - \sqrt{b}}{c},$ trong đó $a$ và $c$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và $b$ là số nguyên dương. Tìm $a + b + c.$
Giả sử các góc của $\triangle ABC$ thỏa mãn $\cos(3A) + \cos(3B)$ $+ \cos(3C) = 1.$ Hai cạnh của tam giác có độ dài $10$ và $13.$ Có một số nguyên dương $m$ sao cho độ dài tối đa có thể có của cạnh còn lại của $\triangle ABC$ là $\sqrt{m}.$ Tìm $m.$
Mười người lớn vào một phòng, cởi giày và ném giày của họ thành một đống. Sau đó, một đứa trẻ ghép ngẫu nhiên mỗi chiếc giày bên trái với một chiếc giày bên phải mà không phân biệt đôi giày nào thuộc về nhau. xác suất mà với mọi số nguyên dương $k \lt 5,$ không có tập hợp $k$ do trẻ tạo ra chứa giày từ chính xác $k$ của người lớn là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Trong $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $\angle A = 30^\circ,$ và $\angle C = 45^\circ.$ Đặt $H,$ $D,$ và $M$ là các điểm trên đường thẳng $\overline{BC}$ sao cho $\overline{AH} \perp \overline{BC},$ $\angle BAD = \angle CAD,$ và $BM = CM.$ Điểm $N$ là trung điểm của đoạn $\overline{HM},$ và điểm $P$ nằm trên tia $AD$ sao cho $\overline{PN} \perp \overline{BC}.$ Khi đó $AP^2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Với mọi số nguyên $k \ge 1,$ hãy đặt $p(k)$ là số nguyên tố nhỏ nhất không chia hết $k.$ Xác định hàm số nguyên $X(k)$ là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn $p(k)$ if $p(k) \gt 2,$ và $X(k) = 1$ if $p(k) = 2.$ Đặt $\{x_n\}$ là dãy được xác định bởi $x_0 = 1,$ và $x_{n+1} X(x_n) = x_n p(x_n)$ cho $n \ge 0.$ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $t$ sao cho $x_t = 2090.$
