Câu hỏi 14
Trong $\triangle ABC,$ $AB = 10,$ $\angle A = 30^\circ,$ và $\angle C = 45^\circ.$ Đặt $H,$ $D,$ và $M$ là các điểm trên đường thẳng $\overline{BC}$ sao cho $\overline{AH} \perp \overline{BC},$ $\angle BAD = \angle CAD,$ và $BM = CM.$ Điểm $N$ là trung điểm của đoạn $\overline{HM},$ và điểm $P$ nằm trên tia $AD$ sao cho $\overline{PN} \perp \overline{BC}.$ Khi đó $AP^2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$