Maya liệt kê tất cả các ước số dương của $2010^2.$ Sau đó, cô chọn ngẫu nhiên hai ước số riêng biệt từ danh sách này. Đặt $p$ là xác suất có chính xác một trong các ước số được chọn là số chính phương. xác suất $p$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
Giả sử rằng $y = \frac{3}{4}x$ và $x^y = y^x.$ Đại lượng $x + y$ có thể được biểu thị dưới dạng số hữu tỉ $\frac{r}{s},$ trong đó $r$ và $s$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $r + s.$
Jackie và Phil có hai đồng xu công bằng và đồng xu thứ ba xuất hiện mặt ngửa với xác suất $\frac{4}{7}.$ Jackie tung ba đồng xu và sau đó Phil tung ba đồng xu. Giả sử $\frac{m}{n}$ là xác suất mà Jackie có cùng số mặt ngửa với Phil, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Các số nguyên dương $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ thỏa mãn $a \gt b \gt c \gt d,$ $a + b + c + d = 2010,$ và $a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.$ Tìm số giá trị có thể có của $a.$
Giả sử $P(x)$ là đa thức bậc hai có hệ số thực thỏa mãn $$
\begin{aligned} x^2 - 2x + 2 &\le P(x) \\ &\le 2x^2 - 4x + 3 \end{aligned}
$$ cho mọi số thực $x,$ và giả sử $P(11) = 181.$ Tìm $P(16).$
Xác định bộ ba có thứ tự $(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C})$ của các bộ là *giao nhau tối thiểu* nếu $|\mathcal{A} \cap \mathcal{B}| = |\mathcal{B} \cap \mathcal{C}| = |\mathcal{C} \cap \mathcal{A}| = 1$ và $\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C} = \emptyset.$ Ví dụ: $(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3, 4\})$ là bộ ba giao nhau tối thiểu. Đặt $N$ là số bộ ba tập hợp giao nhau tối thiểu mà mỗi tập hợp là tập con của $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.$ Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$
Lưu ý: $|\mathcal{S}|$ biểu thị số phần tử trong tập hợp $\mathcal{S}.$
Đối với số thực $a,$ hãy để $\lfloor a \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $a.$ Đặt $\mathcal{R}$ biểu thị vùng trong mặt phẳng tọa độ bao gồm các điểm $(x, y)$ sao cho $$
\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor y \rfloor^2 = 25.
$$ Vùng $\mathcal{R}$ hoàn toàn được chứa trong một đĩa bán kính $r$ (đĩa là sự kết hợp của một vòng tròn và phần bên trong của nó). Giá trị tối thiểu của $r$ có thể được viết là $\frac{\sqrt{m}}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên và $m$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Giả sử $(a, b, c)$ là nghiệm thực của hệ phương trình $$
\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}
$$ Giá trị lớn nhất có thể có của $a^3 + b^3 + c^3$ có thể được viết dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Gọi $N$ là số cách viết $2010$ dưới dạng $$
\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}
$$ trong đó $a_i$ là số nguyên và $0 \le a_i \le 99.$ Một ví dụ về cách biểu diễn như vậy là $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Tìm $N.$
Đặt $\mathcal{R}$ là vùng bao gồm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ thỏa mãn cả $|8 - x| + y \le 10$ và $3y - x \ge 15.$ Khi $\mathcal{R}$ quay quanh đường thẳng có phương trình là $3y - x = 15,$ thì thể tích của vật rắn thu được là $\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương, $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau và $p$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$
Đặt $m \ge 3$ là một số nguyên và để $S = \{3, 4, 5, \ldots, m\}.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$ sao cho mọi phân vùng của $S$ thành hai tập hợp con, ít nhất một trong các tập hợp con chứa các số nguyên $a,$ $b,$ và $c$ (không nhất thiết phải khác biệt) sao cho $ab = c.$
Lưu ý: một phân vùng của $S$ là một cặp bộ $A,$ $B$ sao cho $A \cap B = \emptyset$ và $A \cup B = S.$
Hình chữ nhật $ABCD$ và hình bán nguyệt có đường kính $\overline{AB}$ là đồng phẳng và có phần bên trong không chồng lên nhau. Đặt $\mathcal{R}$ biểu thị vùng được bao quanh bởi hình bán nguyệt và hình chữ nhật. Đường thẳng $\ell$ cắt hình bán nguyệt, đoạn $\overline{AB},$ và đoạn $\overline{CD}$ tại các điểm phân biệt $N,$ $U,$ và $T,$ tương ứng. Dòng $\ell$ chia vùng $\mathcal{R}$ thành hai vùng có diện tích theo tỷ lệ $1 : 2.$ Giả sử rằng $AU = 84,$ $AN = 126,$ và $UB = 168.$ Sau đó $DA$ có thể được biểu diễn dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$
Trong $\triangle ABC$ với $AB = 12,$ $BC = 13,$ và $AC = 15,$ đặt $M$ là một điểm trên $\overline{AC}$ sao cho các đường tròn nội tiếp của $\triangle ABM$ và $\triangle BCM$ có bán kính bằng nhau. Đặt $p$ và $q$ là các số nguyên tố dương tương đối sao cho $\frac{AM}{CM} = \frac{p}{q}.$ Tìm $p + q.$