Câu hỏi 13
Hình chữ nhật $ABCD$ và hình bán nguyệt có đường kính $\overline{AB}$ là đồng phẳng và có phần bên trong không chồng lên nhau. Đặt $\mathcal{R}$ biểu thị vùng được bao quanh bởi hình bán nguyệt và hình chữ nhật. Đường thẳng $\ell$ cắt hình bán nguyệt, đoạn $\overline{AB},$ và đoạn $\overline{CD}$ tại các điểm phân biệt $N,$ $U,$ và $T,$ tương ứng. Dòng $\ell$ chia vùng $\mathcal{R}$ thành hai vùng có diện tích theo tỷ lệ $1 : 2.$ Giả sử rằng $AU = 84,$ $AN = 126,$ và $UB = 168.$ Sau đó $DA$ có thể được biểu diễn dưới dạng $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên dương và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n.$