AIME II năm 2008

Đặt $$
\begin{aligned} N &= 100^2 + 99^2 - 98^2 - 97^2 \\ &\quad {}+ 96^2 + \cdots + 4^2 \\ &\quad {}+ 3^2 - 2^2 - 1^2, \end{aligned}
$$ trong đó các phép cộng và phép trừ xen kẽ theo cặp. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Rudolph đạp xe với tốc độ không đổi và dừng lại để nghỉ năm phút sau mỗi dặm. Jennifer đạp xe với tốc độ không đổi, bằng 3/4 tốc độ của Rudolph, nhưng Jennifer nghỉ 5 phút sau mỗi hai dặm. Jennifer và Rudolph bắt đầu đạp xe cùng một lúc và đến mốc $50$-dặm vào cùng một thời điểm. Họ đã mất bao nhiêu phút?

Một khối phô mai có dạng hình chữ nhật có kích thước $10$ cm x $13$ cm x $14$ cm. Mười lát phô mai được cắt ra. Mỗi lát có chiều rộng $1$ cm và được cắt song song với một mặt của phô mai. Các lát riêng lẻ không nhất thiết phải song song với nhau. thể tích tối đa có thể tính bằng cm khối của khối phô mai còn lại sau khi cắt mười lát là bao nhiêu?

Tồn tại $r$ số nguyên không âm duy nhất $n_1 \gt n_2 \gt \cdots \gt n_r$ và $r$ số nguyên duy nhất $a_k$ $(1 \le k \le r)$ với mỗi $a_k$ $1$ hoặc $-1$ sao cho $$
\begin{aligned} &a_1 3^{n_1} + a_2 3^{n_2} + \cdots + a_r 3^{n_r} \\ &= 2008. \end{aligned}
$$ Tìm $n_1 + n_2 + \cdots + n_r.$

Trong hình thang $ABCD$ với $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ đặt $BC = 1000$ và $AD = 2008.$ Đặt $\angle A = 37^\circ,$ $\angle D = 53^\circ,$ và $M$ và $N$ là trung điểm của $\overline{BC}$ và $\overline{AD},$ tương ứng. Tìm độ dài $MN.$

Trình tự $\{a_n\}$ được xác định bởi $$
\begin{aligned} a_0 &= 1, \\ a_1 &= 1, \\ a_n &= a_{n-1} + \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}
$$

Trình tự $\{b_n\}$ được xác định bởi $$
\begin{aligned} b_0 &= 1, \\ b_1 &= 3, \\ b_n &= b_{n-1} + \frac{b_{n-1}^2}{b_{n-2}} \quad (n \ge 2). \end{aligned}
$$

Tìm $\frac{b_{32}}{a_{32}}.$

Đặt $r,$ $s,$ và $t$ là ba nghiệm của phương trình $$
8x^3 + 1001x + 2008 = 0.
$$ Tìm $(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.$

Giả sử $a = \frac{\pi}{2008}.$ Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho $$
\begin{aligned} &2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) \\ &\quad {}+ \cos(9a)\sin(3a) \\ &\quad {}+ \cdots + \cos(n^2 a)\sin(na)] \end{aligned}
$$ là số nguyên.

Một hạt nằm trên mặt phẳng tọa độ tại $(5, 0).$ Xác định một *chuyển động* cho hạt đó là một phép quay ngược chiều kim đồng hồ của $\frac{\pi}{4}$ radian về gốc tọa độ, sau đó là dịch chuyển các đơn vị $10$ theo hướng $x$ dương. Cho rằng vị trí của hạt sau $150$ chuyển động là $(p, q),$ tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $|p| + |q|.$

Sơ đồ bên dưới hiển thị một mảng điểm hình chữ nhật $4 \times 4$, mỗi điểm cách các điểm lân cận gần nhất một đơn vị $1$.



Xác định một *đường dẫn phát triển* là một chuỗi các điểm riêng biệt của mảng với đặc tính là khoảng cách giữa các điểm liên tiếp của chuỗi đang tăng lên một cách nghiêm ngặt. Đặt $m$ là số điểm tối đa có thể có trong đường dẫn đang phát triển và đặt $r$ là số đường dẫn đang phát triển bao gồm chính xác $m$ điểm. Tìm $mr.$

Trong tam giác $ABC,$ $AB = AC = 100,$ và $BC = 56.$ Đường tròn $P$ có bán kính $16$ và tiếp xúc với $\overline{AC}$ và $\overline{BC}.$ Đường tròn $Q$ tiếp tuyến ngoài với đường tròn $P$ và tiếp tuyến với $\overline{AB}$ và $\overline{BC}.$ Không có điểm nào của đường tròn $Q$ nằm ngoài $\triangle ABC.$ Bán kính đường tròn $Q$ có thể được biểu thị dưới dạng $m - n\sqrt{k},$ trong đó $m,$ $n,$ và $k$ là các số nguyên dương và $k$ là tích của các số nguyên tố phân biệt. Tìm $m + nk.$

Có hai cột cờ có thể phân biệt được và có các cờ $19$, trong đó $10$ là các cờ màu xanh lam giống hệt nhau và $9$ là các cờ màu xanh lá cây giống hệt nhau. Đặt $N$ là số cách sắp xếp có thể phân biệt bằng cách sử dụng tất cả các cờ trong đó mỗi cột cờ có ít nhất một cờ và không có hai cờ xanh nào ở một trong hai cột liền kề nhau. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Một hình lục giác đều có tâm tại gốc tọa độ trong mặt phẳng phức có các cặp cạnh đối diện cách nhau một đơn vị. Một cặp cạnh song song với trục ảo. Đặt $R$ là vùng bên ngoài hình lục giác và đặt $S = \left\{\tfrac{1}{z} \mid z \in R\right\}.$ Khi đó diện tích của $S$ có dạng $a\pi + \sqrt{b},$ trong đó $a$ và $b$ là số nguyên dương. Tìm $a + b.$

Đặt $a$ và $b$ là các số thực dương với $a \ge b.$ Đặt $\rho$ là giá trị lớn nhất có thể có của $\frac{a}{b}$ mà hệ phương trình $$
\begin{aligned} a^2 + y^2 &= b^2 + x^2 \\ &= (a - x)^2 + (b - y)^2 \end{aligned}
$$ có nghiệm $(x, y)$ thỏa mãn $0 \le x \lt a$ và $0 \le y \lt b.$ Khi đó $\rho^2$ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Tìm số nguyên lớn nhất $n$ thỏa mãn các điều kiện sau: $\mathrm{(i)}$ $n^2$ có thể được biểu thị dưới dạng hiệu của hai khối lập phương liên tiếp; $\mathrm{(ii)}$ $2n + 79$ là số chính phương.