SMO 2015 - Open - Vòng 1

Tìm số nguyên dương lớn nhất $N$ sao cho $n^5-5n^3+4n$ chia hết cho $N$ với mọi số nguyên dương $n$.

Xét mọi dãy số có các số hạng phân biệt lập thành cấp số nhân, sao cho số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ tư lần lượt là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tổng bình phương của mọi công bội có thể có.

Cho dãy $\{x_n\}$ thỏa $x_1=1$ và với $n\ge1$, $$x_{n+1}=\frac1{16}\left(1+4x_n+\sqrt{1+24x_n}\right).$$ Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty}3x_n$.

Trong hình dưới, $E$ nằm trong hình bình hành $ABCD$, $\angle DAE=\angle DCE=50^\circ$ và $\angle ABE=30^\circ$. Tính $\angle ADE$ theo độ.

Trong đề này, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chẳng hạn, $\lfloor5\rfloor=5$, $\lfloor2.8\rfloor=2$, $\lfloor-2.3\rfloor=-3$.

Cho $S=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{2014\times2015}$. Tính $\lfloor4030\times S\rfloor$.

Cho hình thang $ABCD$ với $AB\parallel DC$, $AB=20$ cm, $CD=30$ cm, $BD=40$ cm và $AC=30$ cm. Gọi $E$ là giao điểm của $AC,BD$. Tìm diện tích tam giác $DEC$ theo cm$^2$.

Trong đề này, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chẳng hạn, $\lfloor5\rfloor=5$, $\lfloor2.8\rfloor=2$, $\lfloor-2.3\rfloor=-3$.

Có bao nhiêu số nguyên phân biệt trong dãy $$\left\lfloor\frac{1^2}{2015}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2^2}{2015}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{3^2}{2015}\right\rfloor,\ldots,\left\lfloor\frac{2015^2}{2015}\right\rfloor?$$

Trong đề này, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chẳng hạn, $\lfloor5\rfloor=5$, $\lfloor2.8\rfloor=2$, $\lfloor-2.3\rfloor=-3$.

Gọi $S$ là tổng mọi nghiệm dương của phương trình $$\sqrt{\frac{4-x^2}{3}}+\sqrt{\frac{x^2-1}{3}}=1.$$ Tìm $\lfloor S\rfloor$.

Biết $$\frac{(1+10)(1+10^2)(1+10^4)\cdots(1+10^{2^m})}{1+10+10^2+10^3+10^4+\cdots+10^{127}}=1,$$ tìm $m$.

Gọi $a_n$ là số hạng thứ $n$ của một cấp số nhân, $a_1=1$, $a_3=3$. Tính $$\left(\sum_{i=0}^{10}\binom{10}{i}a_{i+1}\right)\cdot\left(\sum_{j=0}^{10}(-1)^j\binom{10}{j}a_{j+1}\right).$$

Cho hàm thực $y=\sqrt{38x-152}+\sqrt{2015-403x}$. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.

Tìm hệ số của $x^{50}$ trong khai triển $(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+50)(x+51)(x+52)$.

Chọn năm mươi số từ $\{1,2,\ldots,100\}$ và năm mươi số nữa từ $\{101,102,\ldots,200\}$. Biết không có hai số được chọn nào chênh nhau 0 hoặc 100. Tìm tổng của cả 100 số được chọn.

Trong đề này, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chẳng hạn, $\lfloor5\rfloor=5$, $\lfloor2.8\rfloor=2$, $\lfloor-2.3\rfloor=-3$.

Cho $H=(x^3-x^2+x)^9$, trong đó $x=\dfrac2{\sqrt5-1}$. Tính $\lfloor H\rfloor$.

Trong đề này, $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chẳng hạn, $\lfloor5\rfloor=5$, $\lfloor2.8\rfloor=2$, $\lfloor-2.3\rfloor=-3$.

Giả sử $x\ge y\ge z\ge\dfrac\pi{12}$, $x+y+z=\dfrac\pi2$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\cos x\sin y\cos z$. Tính $\left\lfloor\dfrac Mm\right\rfloor$.

Cho hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với mọi $x,y\in\mathbb R$, $$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=(6x^2y+2y^3)(x^2-y^2).$$ Biết $f(1)=-999$. Tính $f(10)$.

Cho các số thực $b,c,d,e$ sao cho phương trình $$x^5-20x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$ chỉ có nghiệm thực. Tìm giá trị lớn nhất của $b$.

Gọi $\mathbb N$ là tập các số nguyên dương. Giả sử $f:\mathbb N\to\mathbb N$ thỏa

(a) $f(1)=1$,

(b) $3f(n)f(2n+1)=f(2n)(1+3f(n))$ với mọi $n\in\mathbb N$,

(c) $f(2n)<6f(n)$ với mọi $n\in\mathbb N$.

Tính $f(2015)$.

Cho các số nguyên dương $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ thỏa $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5.$$ Tìm giá trị lớn nhất của $x_5$.

Ah Meng nhặt 2015 hạt lạc trên mặt đất qua nhiều bước theo quy tắc sau. Bước đầu nhặt 1 hạt. Mỗi bước tiếp theo nhặt số hạt bằng hoặc gấp đôi số hạt đã nhặt ở bước trước. Cần ít nhất bao nhiêu bước để hoàn thành?