Do dịch bệnh ngày càng lan rộng, chính phủ dựng $n$ đường thẳng vô hạn về hai phía trong mặt phẳng làm tường, không có hai đường song song và không có ba đường đồng quy. Gọi tập tường này là $W_n$. Mỗi bức tường được sơn một mặt xanh lam, mặt kia xanh lục. Vì vậy, tại giao điểm của hai tường có bốn góc: một góc cùng màu xanh lam, một góc cùng màu xanh lục và hai góc có hai màu khác nhau. Để duy trì lối đi khẩn cấp, tại mỗi giao điểm chính phủ mở một cửa cho phép đi từ một góc khác màu sang góc khác màu đối diện. Đây là những cách duy nhất để đi xuyên qua tường.
Với $W_n$ cho trước, gọi $k(W_n)$ là số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho bất kể cách sơn tường, ta đều có thể đặt $k$ người trong mặt phẳng để không có hai người nào có thể gặp nhau. Với mỗi $n$, tìm mọi giá trị có thể của $k(W_n)$.
Hai đường tròn $\Gamma_1,\Gamma_2$ có các tiếp tuyến chung ngoài $l_1,l_2$ giao nhau tại $T$. Giả sử $l_1$ tiếp xúc $\Gamma_1$ tại $A$ và $l_2$ tiếp xúc $\Gamma_2$ tại $B$. Một đường tròn $\Omega$ qua $A,B$ cắt lại $\Gamma_1$ tại $C$ và $\Gamma_2$ tại $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ lồi.
Các đường thẳng $AC,BD$ giao nhau tại $X$, còn $AD,BC$ giao nhau tại $Y$. Chứng minh $T,X,Y$ thẳng hàng.
Cho tam giác không cân $ABC$ có tâm nội tiếp $I$. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $P$ là chân đường vuông góc từ $D$ xuống $EF$, và $M$ là trung điểm của $BC$. Các tia $AP,IP$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $G,Q$. Chứng minh tâm nội tiếp của tam giác $GQM$ trùng với $D$.
Cho $\mathbb R_+$ là tập tất cả các số nguyên dương. Tìm mọi hàm $g:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ sao cho với $x,y\in\mathbb R_+$,
$$xg(x+g(y))=g(g(xy)+1).$$
Tập $\{2,3,4,\ldots,2020\}$ được chia thành các bộ ba. Trong mỗi bộ $(a,b,c)$, các số được sắp tăng, tức $a\lt b\lt c$, và $\left|b-\frac{a+c}{2}\right|$ gọi là sai số của bộ ba. Tìm tổng sai số lớn nhất có thể của tất cả $673$ bộ ba.
Với mỗi số nguyên dương $x$, gọi $\kappa(x)$ là số hợp số không lớn hơn $x$. Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho
$$(\kappa(n))!\cdot\operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n)\gt (n-1)!.$$
Cho danh sách các số nguyên $2^1+1,2^2+1,\ldots,2^{2019}+1$. Adam chọn hai số khác nhau trong danh sách và tính ước chung lớn nhất của chúng. Tìm tổng tất cả các giá trị có thể của ước chung lớn nhất này.
Hai đường tròn $\Gamma,\Omega$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$. Lấy $P\in\Gamma$. Tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $P$ cắt $\Omega$ tại $C,D$, trong đó $D$ nằm giữa $P,C$ và $ABCD$ là tứ giác lồi. Các đường $CA,CB$ cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $E,F$. Các đường $DA,DB$ cắt lại $\Gamma$ lần lượt tại $S,T$. Giả sử $P,E,S,F,B,T,A$ nằm trên $\Gamma$ theo thứ tự đó. Chứng minh $PC,ET,SF$ song song.
Với số nguyên dương $n$, xét bảng $n\times n$ và các viên gạch kích thước $1\times1,1\times2,\ldots,1\times n$. Có bao nhiêu cách tô đỏ đúng $\frac12n(n+1)$ ô sao cho có thể phủ tất cả các ô đỏ bằng $n$ viên gạch cùng đặt nằm ngang, đồng thời cũng có thể phủ bằng $n$ viên cùng đặt thẳng đứng? Hai cách tô không trùng nhau nhưng biến thành nhau qua phép quay hoặc đối xứng vẫn được tính là khác nhau.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn
$$a+b=\varphi(a)+\varphi(b)+\gcd(a,b).$$
Ở đây $\varphi(n)$ là số các số nguyên $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ sao cho $\gcd(n,k)=1$.
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn
$$a+b=\varphi(a)+\varphi(b)+\gcd(a,b).$$
Ở đây $\varphi(n)$ là số các số nguyên $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ sao cho $\gcd(n,k)=1$.
Với số nguyên dương $n$, xét bảng $n\times n$ và các viên gạch kích thước $1\times1,1\times2,\ldots,1\times n$. Có bao nhiêu cách tô đỏ đúng $\frac12n(n+1)$ ô sao cho có thể phủ tất cả các ô đỏ bằng $n$ viên gạch cùng đặt nằm ngang, đồng thời cũng có thể phủ bằng $n$ viên cùng đặt thẳng đứng? Hai cách tô không trùng nhau nhưng biến thành nhau qua phép quay hoặc đối xứng vẫn được tính là khác nhau.
Cho số nguyên dương $N\gt 2^{5000}$. Chứng minh rằng nếu $1\le a_1\lt \cdots\lt a_k\lt 100$ là các số nguyên dương phân biệt thì
$$\prod_{i=1}^k(N^{a_i}+a_i)$$
có ít nhất $k$ ước nguyên tố phân biệt.
Trong mặt phẳng có $N$ tam giác nhọn, tất cả các đỉnh là điểm nguyên, diện tích đều bằng $2^{2020}$, và không có hai tam giác nào bằng nhau. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $N$.
Chú ý: $(x,y)$ là điểm nguyên khi và chỉ khi cả $x,y$ đều là số nguyên.
Cho số thực $\alpha\ge1$. Hephaestus và Poseidon chơi theo lượt trên lưới vô hạn gồm các ô vuông đơn vị. Trước khi bắt đầu, Poseidon chọn hữu hạn ô bị ngập. Hephaestus xây một con đê, là tập các cạnh đơn vị của lưới (gọi là tường), tạo thành đường đi hoặc vòng kín liên thông, không tự cắt.
Hephaestus đi trước. Mỗi lượt, ông thêm một hoặc nhiều tường vào đê, sao cho tổng độ dài đê sau lượt thứ $n$ của mình không quá $\alpha n$. Mỗi lượt của Poseidon, mọi ô kề một ô đã ngập và không bị tường ngăn cách cũng bị ngập.
Hephaestus thắng nếu đê tạo vòng kín chứa mọi ô ngập bên trong, nhờ đó chặn lũ và cứu thế giới. Với những $\alpha$ nào, Hephaestus có thể bảo đảm thắng sau hữu hạn lượt, bất kể Poseidon chọn các ô ngập ban đầu ra sao?
Gọi một tam giác không suy biến có các góc $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ là đặc biệt nếu tồn tại các số nguyên $r_1,r_2,r_3$, không đồng thời bằng không, sao cho
$$r_1\theta_1+r_2\theta_2+r_3\theta_3=0.$$
Tìm mọi số nguyên $n\ge3$ sao cho tam giác có các cạnh $n-1,n,n+1$ là đặc biệt.
Tìm số lượng các số nguyên tố $p\lt 100$ sao cho $\lfloor(2+\sqrt5)^p\rfloor-2^{p+1}$ chia hết cho $p$. Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.