Câu hỏi 18
Cho số thực $\alpha\ge1$. Hephaestus và Poseidon chơi theo lượt trên lưới vô hạn gồm các ô vuông đơn vị. Trước khi bắt đầu, Poseidon chọn hữu hạn ô bị ngập. Hephaestus xây một con đê, là tập các cạnh đơn vị của lưới (gọi là tường), tạo thành đường đi hoặc vòng kín liên thông, không tự cắt.
Hephaestus đi trước. Mỗi lượt, ông thêm một hoặc nhiều tường vào đê, sao cho tổng độ dài đê sau lượt thứ $n$ của mình không quá $\alpha n$. Mỗi lượt của Poseidon, mọi ô kề một ô đã ngập và không bị tường ngăn cách cũng bị ngập.
Hephaestus thắng nếu đê tạo vòng kín chứa mọi ô ngập bên trong, nhờ đó chặn lũ và cứu thế giới. Với những $\alpha$ nào, Hephaestus có thể bảo đảm thắng sau hữu hạn lượt, bất kể Poseidon chọn các ô ngập ban đầu ra sao?
Hephaestus đi trước. Mỗi lượt, ông thêm một hoặc nhiều tường vào đê, sao cho tổng độ dài đê sau lượt thứ $n$ của mình không quá $\alpha n$. Mỗi lượt của Poseidon, mọi ô kề một ô đã ngập và không bị tường ngăn cách cũng bị ngập.
Hephaestus thắng nếu đê tạo vòng kín chứa mọi ô ngập bên trong, nhờ đó chặn lũ và cứu thế giới. Với những $\alpha$ nào, Hephaestus có thể bảo đảm thắng sau hữu hạn lượt, bất kể Poseidon chọn các ô ngập ban đầu ra sao?