Trong bảng sau, mỗi hàng trong ba hàng là một phép tính đúng (ký hiệu $\div$ chỉ phép chia). Mỗi cột trong ba cột, đọc từ trên xuống, cũng là phép tính đúng. Các chữ số đã được thay bằng chữ cái; các chữ khác nhau chỉ chữ số khác nhau và không chữ số nào bằng $0$.
Lieneke làm vòng tay bằng hạt. Mỗi vòng có sáu hạt: hai trắng, hai xám và hai đen. Một số vòng thoạt nhìn khác nhau nhưng thật ra giống nhau: quay hoặc lật vòng đầu có thể làm nó trùng vòng kia. Ví dụ, ba vòng sau là một loại.
Lieneke có thể làm bao nhiêu vòng thật sự khác nhau?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 14
E) 15
Tìm tất cả các dãy $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}\right)$ gồm các số thực không âm thỏa mãn đồng thời:
(i) $x_{1} \leq x_{2} \leq \ldots \leq x_{2020}$;
(ii) $x_{2020} \leq x_{1}+1$;
(iii) có một hoán vị $\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2020}\right)$ của $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}\right)$ sao cho
$$
\sum_{i=1}^{2020}\left(\left(x_{i}+1\right)\left(y_{i}+1\right)\right)^{2}=8 \sum_{i=1}^{2020} x_{i}^{3}
$$
Hoán vị của một dãy là dãy có cùng độ dài và các phần tử như dãy đó, nhưng có thể sắp theo thứ tự bất kỳ. Ví dụ, $(2,1,2)$ là hoán vị của $(1,2,2)$ và cả hai đều là hoán vị của $(2,2,1)$. Mỗi dãy cũng là một hoán vị của chính nó.
Cho lục giác lồi $A B C D E F$ thỏa mãn $\angle A=\angle C=\angle E$, $\angle B=\angle D=\angle F$ và các phân giác trong của $\angle A, \angle C$, $\angle E$ đồng quy.
Chứng minh các phân giác trong của $\angle B, \angle D$, $\angle F$ cũng đồng quy.
Lưu ý $\angle A=\angle F A B$. Các góc trong khác được hiểu tương tự.
Một hoán vị của các số nguyên $1,2, \ldots, m$ được gọi là *mới* nếu không có số nguyên dương $k \lt m$ sao cho $k$ số đầu chính là $1,2, \ldots, k$ theo một thứ tự nào đó. Gọi $f_{m}$ là số hoán vị mới của $1,2, \ldots, m$.
Chứng minh $f_{n} \geq n \cdot f_{n-1}$ với mọi $n \geq 3$.
Ví dụ, nếu $m=4$ thì hoán vị $(3,1,4,2)$ là mới, còn $(2,3,1,4)$ không mới.
Xét tam giác $ABC$ với $\angle BCA \gt 90^{\circ}$. Đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của $ABC$ có bán kính $R$. Có điểm $P$ nằm trong đoạn $AB$ sao cho $PB = PC$ và độ dài $PA$ bằng $R$. Đường trung trực của $PB$ cắt $\Gamma$ tại $D$, $E$.
Cho số nguyên $m \gt 1$. Dãy $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ được xác định bởi $a_{1} = a_{2} = 1$, $a_{3} = 4$ và với mọi $n \geq 4$,
$$
a_{n} = m\left(a_{n-1} + a_{n-2}\right) - a_{n-3}.
$$
Tìm tất cả số nguyên $m$ sao cho mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
Một lớp có số nam bằng số nữ. Biết $60\%$ học sinh chơi thể thao và $\frac{5}{9}$ số học sinh chơi thể thao là nam. Ngoài ra, $\frac{1}{3}$ số học sinh chơi thể thao tham gia câu lạc bộ toán và $\frac{2}{15}$ số nữ không chơi thể thao cũng không tham gia câu lạc bộ toán. Mặt khác, $\frac{2}{15}$ số nam vừa chơi thể thao vừa tham gia câu lạc bộ toán. Bao nhiêu phần trăm số nữ tham gia câu lạc bộ toán?
Có tồn tại số nguyên $n \ge 3$ sao cho ba đường chéo của đa giác đều $n$ cạnh đồng quy tại điểm không là đỉnh cũng không là tâm của đa giác $n$ cạnh không? Nếu có, tìm $n$ nhỏ nhất.
Chứng minh hoặc bác bỏ: Với mọi số nguyên $n \gt 0$, có đa thức $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ thỏa mãn:
(1) Mọi hệ số $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ đều là số thực dương;
(2) Có ít nhất một hệ số bằng $\frac{1}{n}$;
(3) Giá trị đa thức là số nguyên với mọi số nguyên $x$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho có thể chọn $n-3$ đường chéo không cắt nhau của đa giác đều $n$ cạnh, chia đa giác $n$ cạnh thành các tam giác, với mỗi đường chéo được chọn là cạnh ngắn nhất trong một tam giác nào đó.
Bốn hộp khẩu trang và đồ khử trùng được chuyển tới người dự lễ hội. Cân từng cặp hộp cho sáu kết quả, trong đó bốn kết quả lớn nhất là $125$ kg, $120$ kg, $110$ kg, $101$ kg. Tìm mọi khả năng về khối lượng bốn hộp.
Cho $p_1, p_2, p_3, \dots$ là tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng. Chứng minh $p_2 + p_4 + \dots + p_{2n} \gt 3n^2 - 2n + 1$ với mọi số nguyên dương $n$.
Đa thức $x^3 + px + q$, với $p$, $q$ là các số thực không đồng thời bằng không, có nghiệm thực $a$ thỏa mãn
$$
a^2 \le -\frac{4}{3}p.
$$
Chứng minh đa thức có một nghiệm thực khác $a$.
Tứ giác $ABCD$ có tâm nội tiếp $I$. Hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $P$. Biết $I$ nằm trong tam giác $PAB$, không trên cạnh, chứng minh diện tích $PAB$ lớn hơn diện tích mỗi tam giác $PBC$, $PCD$, $PDA$.
Có một số hiệp sĩ trên sân. Mỗi người có ba thuộc tính: tốc độ, trí thông minh và vẻ đẹp. Mỗi thuộc tính của mỗi hiệp sĩ là số nguyên $x$ thỏa mãn $1 \le x \le n$. Hiệp sĩ $A$ thắng được $B$ nếu cả ba thuộc tính của $A$ đều lớn hơn tương ứng của $B$. Biết không ai thắng được ai khác và hai người bất kỳ khác nhau ít nhất một thuộc tính. Tìm số hiệp sĩ lớn nhất có thể.
