Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường kính $KL$ đi qua trung điểm $M$ của $AB$, trong đó $L$ và $C$ nằm ở hai phía của $AB$. Một đường tròn đi qua $M$ và $K$ cắt $LC$ tại $P$ và $Q$, với $P$ nằm giữa $Q$ và $C$. Đường thẳng $KQ$ cắt lại đường tròn $(LMQ)$ tại $R$. Chứng minh rằng tứ giác $ARBP$ nội tiếp và $AB$ là đường đối trung kẻ từ $A$ của tam giác $APR$.
Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$, tâm đường tròn nội tiếp $I$ và tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$ là $J$. Gọi $D$ là tiếp điểm của $l_a(I)$ với $BC$. Đường phân giác của $\angle A$ cắt $BC$ và $(O)$ lần lượt tại $E$ và $F$. Đường tròn $(DEF)$ cắt lại $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng $AT$ đi qua một giao điểm của $(J)$ và $(DEF)$.
Chú thích biên tập: nguồn viết ký hiệu chưa được định nghĩa $l_a(I)$. Ở đây ký hiệu này được hiểu là đường tròn nội tiếp $(I)$, vì $I$ là tâm nội tiếp và $D$ là tiếp điểm của đường tròn ấy với $BC$; $(J)$ là đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$.
Cho tứ giác $ABCD$ có $\angle A=\angle B=90^\circ$ và $AB=AD$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Giả sử $CD=BC+AD$ và $AD\gt BC$. Chứng minh rằng $\angle ADC=2\angle ABE$.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn cố định $(O)$, trong đó $BC$ cố định còn $A$ thay đổi trên $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Lấy $D$ trên $AB$ và $E$ trên $AC$ sao cho $H$ là trung điểm của $DE$. Chứng minh rằng khi $A$ di chuyển trên $(O)$, tâm đường tròn $(ADE)$ nằm trên một đường tròn cố định.
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Giả sử $EF$ cắt $(O)$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng đường tròn $(PQD)$ đi qua trung điểm của $BC$.
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau ở $T$. Một đường thẳng qua $T$ cắt đoạn $AB$ tại $D$ và tia $CA$ tại $E$. Gọi $M$ là trung điểm của $DE$; giả sử $MA$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Chứng minh rằng $(MKT)$ tiếp xúc với $(O)$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n\ge3$ sao cho có thể ghi các số từ $1$ đến $n$ lên các đỉnh của một đa giác đều $n$ cạnh, mỗi số một lần, với tính chất: đối với ba đỉnh bất kỳ $A,B,C$ thỏa mãn $AB=AC$, số ghi tại $A$ lớn hơn cả hai số ghi tại $B,C$ hoặc nhỏ hơn cả hai số đó.
Chứng minh rằng không thể điền các số từ $1$ đến $64$ vào các ô của một bảng $8\times8$, mỗi số dùng đúng một lần, sao cho với mỗi hình vuông $2\times2$, hiệu giữa hai tích của các số trên hai đường chéo bằng $1$.
Với một số nguyên dương $k$, ký hiệu $f(k)$ là số các số nguyên dương $m$ sao cho số dư khi chia $km$ cho $2019^3$ lớn hơn $m$. Tìm số lượng giá trị khác nhau trong các số $f(1),f(2),\ldots,f(2019^3)$.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của $m$, với $m\gt n$, là bao nhiêu để tập hợp $M=\{n,n+1,\ldots,m\}$ có thể được phân hoạch thành các tập con sao cho trong mỗi tập con có một số bằng tổng tất cả các số còn lại của tập con đó?
Cho $N$ là một số nguyên dương. Xét dãy $a_1,a_2,\ldots,a_N$ gồm các số nguyên dương, không số nào chia hết cho $2^{N+1}$. Với $n\ge N+1$, số $a_n$ được xác định như sau: chọn chỉ số $k$ trong các số $1,2,\ldots,n-1$ sao cho số dư khi chia $a_k$ cho $2^n$ là nhỏ nhất, rồi đặt $a_n=2a_k$; nếu có nhiều chỉ số $k$ như vậy thì chọn chỉ số lớn nhất. Chứng minh rằng tồn tại $M$ sao cho $a_n=a_M$ với mọi $n\ge M$.
Gọi một số nguyên dương $x$ là cách xa các số chính phương và lập phương nếu với mọi số nguyên $k$, cả hai bất đẳng thức $|x-k^2|\gt10^6$ và $|x-k^3|\gt10^6$ đều đúng. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $2^n$ cách xa các số chính phương và lập phương.
Cho đa thức $P(x)=a_dx^d+\cdots+a_2x^2+a_0$, trong đó $d\ge2$ và các hệ số được nêu đều là số nguyên dương. Dãy $(b_n)$ được xác định bởi $b_1=a_0$ và $b_{n+1}=P(b_n)$ với $n\ge1$. Chứng minh rằng với mỗi $n\ge2$, tồn tại một số nguyên tố $p$ sao cho $b_n$ chia hết cho $p$, nhưng không số nào trong $b_1,b_2,\ldots,b_{n-1}$ chia hết cho $p$.
Một tập hữu hạn $S$ gồm các số nguyên dương có tính chất sau: với mỗi $s\in S$ và mỗi ước nguyên dương $d$ của $s$, tồn tại duy nhất một phần tử $t\in S$ sao cho $\gcd(s,t)=d$. (Hai phần tử $s$ và $t$ có thể bằng nhau.)
Với thông tin này, hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của số phần tử của $S$.
Công viên Quốc gia Phẳng là một tập con của mặt phẳng Euclid, gồm một số đường mòn gặp nhau tại các nút giao. Mỗi đường mòn có hai đầu mút là hai nút giao khác nhau, và mỗi nút giao là đầu mút của đúng ba đường mòn. Các đường mòn chỉ giao nhau tại các nút giao (đặc biệt, chúng chỉ gặp nhau tại các đầu mút). Cuối cùng, không có hai đường mòn nào có cùng cặp nút giao làm hai đầu mút. (Hình dưới bên trái minh họa một cách bố trí có thể có của công viên, với sáu nút giao và chín đường mòn.)
Một du khách đi bộ qua công viên như sau: cô bắt đầu tại một nút giao rồi đi dọc theo một đường mòn. Ở cuối đường mòn đầu tiên, cô đi vào một nút giao và rẽ trái. Tại nút giao tiếp theo, cô rẽ phải, rồi tiếp tục như vậy, luân phiên rẽ trái và rẽ phải tại mỗi nút giao. Cô đi cho đến khi trở lại nút giao xuất phát. Xét tất cả các cách bố trí có thể có của công viên, số lần lớn nhất mà cô có thể đi vào một nút giao bất kỳ trong chuyến đi là bao nhiêu?
Cho số nguyên $n\ge2$. Ban đầu, một bàn cờ $n\times n$ không có viên đá nào. Mỗi phút, bạn được thực hiện một trong ba thao tác sau:
* Nếu trên bàn có một vùng gồm ba ô tạo thành hình chữ L và cả ba ô đều không có đá (xem hình; không được phép quay hình), bạn có thể đặt một viên đá vào mỗi ô đó.
* Nếu tất cả các ô trong một cột đều có đá, bạn có thể lấy hết đá ra khỏi cột đó.
* Nếu tất cả các ô trong một hàng đều có đá, bạn có thể lấy hết đá ra khỏi hàng đó.
Với những giá trị nào của $n$ thì sau một số thao tác khác $0$, bàn cờ có thể lại không còn viên đá nào?
Một tập hữu hạn $S$ gồm các số nguyên dương có tính chất sau: với mỗi $s\in S$ và mỗi ước nguyên dương $d$ của $s$, tồn tại duy nhất một phần tử $t\in S$ sao cho $\gcd(s,t)=d$. (Hai phần tử $s$ và $t$ có thể bằng nhau.)
Với thông tin này, hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của số phần tử của $S$.
Cho $n\ge2$ số nguyên dương đôi một phân biệt $a_1,a_2,\ldots,a_n$, không số nào là số lập phương hoàn hảo. Tìm số lượng lớn nhất có thể có các số lập phương hoàn hảo trong những tích $a_i a_j$ với $1\le i\lt j\le n$.
