Cho tam giác nhọn không cân $ABC$, gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $N$ là điểm chính giữa cung $BAC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi $\omega$ là đường tròn đường kính $BC$ và $D, E$ là các giao điểm của nó với đường phân giác của góc $BAC$. Các điểm $D', E'$ nằm trên $\omega$ sao cho $DED'E'$ là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng bốn điểm $D', E'$, $M, N$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho tam giác cân $ABC$ với đáy $AB$ và $P$ là một điểm nằm trên đường cao kẻ từ $C$. Tia $AP$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần thứ hai tại $Q \neq A$. Đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ cắt cạnh $BC$ tại $R$. Chứng minh rằng $QR$ là đường phân giác của góc $AQB$. (Jaroslav Švrček)
Xét một dãy vô hạn các số nguyên $a_0, a_1, a_2, \dots$ thỏa mãn
$$
a_0 \ge 1 \quad \text{và} \quad a_{n+1} \in \{2022a_n - 1, 2022a_n + 1\}
$$
với mọi chỉ số $n \ge 0$. Chứng minh rằng mọi dãy vô hạn như vậy đều chứa vô số hợp số.
(Martin Melicher)
Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $AB = BC = CD$ và $P$ là giao điểm hai đường chéo của nó. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABP$, $CDP$. Chứng minh rằng $O_1BCO_2$ là một hình bình hành.
Xét một đồ thị bất kỳ có $50$ đỉnh và $225$ cạnh. Ta nói một bộ ba đỉnh (đôi một phân biệt) của nó là *liên thông* nếu ba đỉnh đó xác định ít nhất hai cạnh. Hãy xác định số bộ ba liên thông nhỏ nhất và lớn nhất có thể.
Cho $k \le 2022$ là một số nguyên dương. Alice và Bob chơi một trò chơi trên bảng $2022 \times 2022$. Ban đầu mọi ô đều màu trắng. Alice đi trước và hai người chơi luân phiên. Trong lượt của mình, Alice có thể tô một ô trắng thành màu đỏ hoặc bỏ lượt. Trong lượt của mình, Bob có thể tô một hình vuông $k \times k$ gồm toàn ô trắng thành màu xanh hoặc bỏ lượt. Khi cả hai người chơi đều bỏ lượt, trò chơi kết thúc và người đã tô được nhiều ô hơn thắng (có thể xảy ra hòa). Với mỗi $1 \le k \le 2022$, hãy xác định người chơi nào (nếu có) có chiến lược thắng. (David Hruška)
Tìm tất cả các hàm số $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ sao cho
$$
f\left(f(x) + \frac{y+1}{f(y)}\right) = \frac{1}{f(y)} + x + 1
$$
với mọi $x, y \gt 0$.
(Dominik Burek)
Hai đường tròn $\Omega_1$ và $\Omega_2$ có bán kính khác nhau cắt nhau tại hai điểm, gọi một trong hai điểm đó là $P$. Một đường thẳng thay đổi $\ell$ đi qua $P$ cắt cung của $\Omega_1$ nằm ngoài $\Omega_2$ tại $X_1$, và cắt cung của $\Omega_2$ nằm ngoài $\Omega_1$ tại $X_2$. Gọi $R$ là điểm trên đoạn $X_1X_2$ sao cho $X_1P = RX_2$. Tiếp tuyến của $\Omega_1$ tại $X_1$ cắt tiếp tuyến của $\Omega_2$ tại $X_2$ tại $T$. Chứng minh rằng đường thẳng $RT$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, không phụ thuộc vào cách chọn $\ell$. (Josef Tkadlec)
Cho số nguyên dương $n$, ký hiệu $\tau(n)$ là số các ước dương của $n$, và $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước dương của $n$. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn
$$
\sigma(n) = \tau(n) \cdot \lceil\sqrt{n}\rceil.
$$
(Ở đây, $\lceil x \rceil$ ký hiệu số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$.)
(Michael Reitmeir)
Cho tam giác $ABC$ với $AB \lt AC$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Đường phân giác của góc $\angle BAC$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt đoạn $AO$ tại $X$. Ngoài ra, gọi $Y$ là trung điểm của đoạn $AD$. Chứng minh rằng các điểm $B, C, X, Y$ cùng nằm trên một đường tròn. (Karl Czakler)
Xét 26 chữ cái $A, \dots, Z$. Một *xâu* là một dãy hữu hạn gồm các chữ cái đó. Ta nói xâu $s$ là *đẹp* nếu nó chứa mỗi chữ cái trong 26 chữ cái ít nhất một lần, và mỗi hoán vị của các chữ cái $A, \dots, Z$ xuất hiện trong $s$ dưới dạng dãy con với cùng một số lần. Chứng minh rằng:
a. Tồn tại một xâu đẹp.
b. Mọi xâu đẹp đều chứa ít nhất 2022 chữ cái.
(Ở đây, một hoán vị $\pi$ của 26 chữ cái là một *dãy con* của xâu $s = s_1s_2s_3\dots$ nếu tồn tại 26 chỉ số $i_1 \lt i_2 \lt \dots \lt i_{26}$ sao cho $\pi = s_{i_1}s_{i_2}\dots s_{i_{26}}$.) (Václav Rozhoň)
Có tồn tại hay không một số nguyên dương $n$ sao cho, xét tất cả các cách biểu diễn $n = ab$, mỗi chữ số $0, 1, \dots, 9$ đều xuất hiện ít nhất một lần làm chữ số tận cùng của $a^b$?
Cho $\omega$ là đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Một đường tròn tâm $B$ cắt $\omega$ tại $C$ và cắt $AB$ tại $D$. Đường thẳng $CD$ cắt $\omega$ tại điểm $E$ ($E \neq C$). Giao điểm của các đường thẳng $OE$ và $BC$ là $F$.
a. Chứng minh rằng tam giác $OBF$ cân.
b. Tính tỉ số $\frac{FB}{BD}$, biết rằng $D$ là trung điểm của $OB$.
Một cánh đồng là một lưới $2020 \times 2021$ trong đó mỗi ô được viết một số nguyên dương, sao cho không có số nào lặp lại trong bất kỳ hàng hay cột nào. Một củ hành gồm $4$ ô liên tiếp trong một hàng hoặc một cột, có tổng các số bằng đúng $4 \cdot 2021$. Tìm số củ hành lớn nhất có thể có trên cánh đồng.
Cho tam giác $ABC$ với $AB = AC$. Gọi $E$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $B$. Biết rằng $BEA$ hoặc $BEC$ là tam giác cân, hãy tìm tất cả các giá trị có thể của số đo góc tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
Mari chọn năm số nguyên dương phân biệt không lớn hơn $2021$. Từ năm số này, phải có thể chọn ra hai số có tổng bằng $1919$ theo hai cách khác nhau. Tương tự, từ năm số này, phải có thể chọn ra hai số có tổng bằng $2929$ theo hai cách khác nhau. Tìm tất cả các khả năng về năm số mà Mari có thể chọn.