IMC 2012 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Cho một số thực dương. Mỗi bước cộng ba, trừ ba, nhân ba hoặc chia ba. Tìm mọi số ban đầu có thể trở lại chính nó sau đúng ba bước.

Tám người có tuổi trung bình mười lăm; mọi tuổi là số nguyên tố. Tuổi mười chín xuất hiện nhiều hơn mọi tuổi khác. Khi xếp tăng dần, hai tuổi giữa trung bình mười một. Tìm tuổi lớn nhất có thể của người lớn tuổi nhất.

Các số một đến chín nằm trong chín lục giác trên ba cạnh tam giác, ban đầu mỗi cạnh tổng mười chín. Hoán vị sao cho ba tổng vẫn bằng nhau. Tìm tổng chung nhỏ nhất và lớn nhất.

Hai nghìn không trăm mười hai điểm cách đều trên một đường thẳng được tô cam hoặc xanh. Nếu ba điểm $A,B,C$ thỏa $AB=BC$, cả ba phải cùng màu. Đếm mọi cách tô.

Ba cách tách $2|012$, $20|12$, $201|2$ của số hai nghìn không trăm mười hai cho tổng tích $2\cdot012+20\cdot12+201\cdot2=666$. Tìm mọi số bốn chữ số khác có tính chất đó.

Với số nguyên dương $n$, $2n$ có tám ước dương và $3n$ có mười hai. Tìm mọi số lượng ước dương có thể của $12n$.

Dùng đường cắt thẳng và cung tròn chia hình tròn thành các mảnh bằng nhau, sao cho ít nhất một mảnh không chứa tâm trong miền trong hoặc trên biên.

Máy có ba hộp, mỗi hộp ban đầu tắt đèn đỏ. Sau khi đặt vật, một hộp sáng chỉ khi tổng khối lượng nhỏ hơn hẳn cả hai hộp kia; nếu không mọi đèn tắt. Bảy bóng gồm sáu bóng nặng bằng nhau và một bóng giả nhẹ hơn. Tìm bóng giả bằng hai lần dùng máy.

Năm tetromino I, L, N, O, T như hình, mỗi mảnh gồm bốn ô vuông đơn vị nối cạnh. (a) Dùng ba mảnh khác nhau tạo hình đối xứng trục; cho năm cách với tổ hợp mảnh khác nhau. (b) Dùng ba mảnh khác nhau tạo hình đối xứng quay; cho một cách.

Mười chữ số thập phân được thay song ánh bằng $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$. Biết $$10A+B=A^2C,\quad10D+E=CF,\quad10B+G=H+I+FG,\quad ABDJ\ne0,$$ tìm $J$.