2012 xIMC keystage2-EMIC team

Chín vòng chứa các số nguyên dương liên tiếp khác nhau. Mỗi đường trong bảy đường vẽ có tổng $23$. Ô giữa trái cố định $6$; trên phải nhỏ hơn dưới phải. Khôi phục các số.

Cột đầu bảng là $0,1,2,\ldots$. Hàng một tăng $1$ mỗi ô; hàng hai tăng $2$; hàng ba tăng $3$; v.v. Hai mảnh còn lại là bộ ngang $(?,2012,2023)$, bộ dọc $(2012,2683,?)$. Tìm tổng hai ô thiếu.

Dãy bắt đầu $2012$, rồi một số $1$, rồi $2012$, hai số $1$, rồi $2012$, ba số $1$, v.v. Tìm tổng $2012$ số đầu.

Andrea sai một phần ba đề, Barbara sai bảy câu, một phần năm số câu cả hai cùng sai. Số câu cả hai cùng đúng tối đa bao nhiêu?

Năm số nguyên dương khác nhau tạo mười tích từng cặp. Nhỏ nhất $28$, lớn nhất $240$, còn có tích $128$. Tìm tổng năm số.

Vuông $MNPQ$ trong chữ nhật $ABCD$, cạnh tương ứng song song, $AB-BC=7$ cm. Hai hình thang $ABNM,CDQP$ tổng $123$ cm$^2$, hai hình $ADQM,BCPN$ tổng $312$ cm$^2$. Tìm diện tích vuông.

Hai công ty ban đầu cùng số nhân viên. Công ty một tăng nhân sự thành mười một lần ban đầu, công ty hai giảm mười một người. Số mới công ty một là bội số công ty hai. Tìm số ban đầu lớn nhất.

Trong vuông $ABCD$, $K,L,M,N$ chia $BC$ thành năm đoạn bằng nhau. $E$ trên $AD$, $AE=BK$. Tìm $\angle AKE+\angle ALE+\angle AME+\angle ANE+\angle ACE$.

Điền bảy ô trống bảng $3\times3$ bằng $2,3,4,5,6,7,9$, mỗi số một lần. Cố định $1$ trên trái, $8$ giữa phải. Tổng bốn bảng con $2\times2$ phải bằng nhau. Tìm mọi nghiệm.

Đầu mỗi tháng kiến đỏ trưởng thành sinh ba kiến đen con. Mỗi kiến đen trưởng thành ăn một kiến đen con, sinh ba kiến đỏ con rồi chết; luôn đủ kiến con để ăn. Kiến con trưởng thành trong tháng. Giáng sinh có $9000000$ đỏ, $1000000$ đen. Chênh số đỏ, đen ở Giáng sinh trước là bao nhiêu?