2012 xIMC keystage2-EMIC individual

Có bao nhiêu cách chia $20$ bút chì giống nhau cho ba bạn nữ, mỗi bạn ít nhất một bút?

Phí theo chiều kim đồng hồ trên đường vòng: cầu $1$, hầm $3$, đập $5$ đô. Xe bắt đầu giữa đập và cầu, đi thuận tới khi trả tổng $130$. Phí tiếp theo bao nhiêu?

Cộng $4$ vào một số hai chữ số làm tổng chữ số bằng nửa tổng chữ số ban đầu. Có bao nhiêu số thỏa?

Quạt tròn $OAB$ có $OA=OB$, góc $30^\circ$. Nửa tròn qua $A$ có tâm $C$ trên $OA$, tiếp xúc $OB$ tại $T$. Tìm tỉ lệ diện tích nửa tròn : quạt tròn.

Vuông $ABCD$ diện tích $36$ cm$^2$. $F$ là trung điểm $AD$, $E$ là trung điểm $FD$. $BE$, $CF$ cắt tại $G$. Tìm $[EFG]$.

Mỗi bạn nữ có một hoặc hai bạn, tình bạn hai chiều. Sáng, bạn có hai bạn đội đỏ, có một bạn đội xanh; mọi cặp bạn khác màu. Mười bạn đỏ đổi xanh, mười hai bạn xanh đổi đỏ, mỗi người đổi một lần. Giờ mọi cặp bạn cùng màu. Có bao nhiêu bạn nữ?

Lưới có $7\times7$ điểm cách nhau một đơn vị như hình. Bốn vuông bằng nhau có đỉnh ở các điểm, không hai hình chung dù một điểm. Tìm diện tích lớn nhất một vuông, cm$^2$.

$1006$ số nguyên dương khác nhau, không vượt $2012$, tổng $1019057$. Số lượng số lẻ ít nhất bao nhiêu?

Thí sinh ngồi lưới $6\times6$, hàng xóm kề ngang, dọc hoặc chéo. Một người có giải nếu tối đa một hàng xóm điểm lớn hơn hoặc bằng mình. Tìm số người có giải tối đa.

Hai số nguyên dương có tổng gấp bảy hiệu, tích gấp ba mươi sáu hiệu. Tìm số lớn.

Mọi học sinh trường A, B đạt vàng, bạc hoặc đồng. Số vàng bằng nhau; phần trăm vàng A:B là $5:6$. Số bạc A:B là $9:2$, số bạc chiếm $20\%$ tổng học sinh hai trường. Một nửa A đạt đồng. Bao nhiêu phần trăm B đạt vàng?

Bắt đầu $5/6$. Mỗi bước cộng $6$ vào tử hoặc $5$ vào mẫu, không cả hai. Số bước dương ít nhất để giá trị trở lại $5/6$?

Năm số hai chữ số liên tiếp có ba số nào đó tổng chia hết $37$, và ba số nào đó tổng chia hết $71$. Tìm số lớn nhất trong năm số.

Trong vuông $ABCD$, $M,N$ là trung điểm $AB,BC$. Trên $CD$ có $CP=4$, $PD=8$ cm; trên $DA$ có $DQ=3$ cm. $MP$, $NQ$ cắt tại $O$. Tìm chênh lệch diện tích tuyệt đối lớn nhất giữa các cặp $(QOM,QAM),(MON,MBN),(NOP,NCP),(POQ,PDQ)$.

Ngay trước khi Carol sinh, tuổi Eric bằng tổng tuổi Alice, Ben, Debra; trung bình bốn người $19$. Năm $2010$, Debra hơn tổng Ben, Carol $8$ tuổi, trung bình cả năm $35.2$. Năm $2012$, Ben, Carol, Debra, Eric trung bình $39.5$. Tìm tuổi Ben năm $2012$.