2011 xIMC keystage2-EMIC team

Túi $k$ chứa $k^2$ viên kẹo, với $k=1,2,\ldots,18$. Chia mười tám túi thành ba nhóm sáu túi, tổng kẹo bằng nhau. Cho một cách chia.

Tám số nguyên dương thành dãy, từ số thứ ba bằng tổng hai số trước. Số thứ tám $2011$. Số đầu lớn nhất bao nhiêu?

Tia sáng phản xạ trong đường tròn: tại mỗi điểm biên, góc với bán kính trước và sau phản xạ bằng nhau. Từ $A_0$ nó tới $A_1,A_2,\ldots$. $A_{95}$ là lần đầu trùng $A_0$. Có bao nhiêu lựa chọn $A_1$?

Lưu lượng một ống lớn và bốn ống nhỏ giống nhau, đơn vị mét khối mỗi giờ, là số nguyên dương. Ống lớn hơn một ống nhỏ $6$. Bốn ống nhỏ làm đầy hồ nhanh hơn ống lớn hai giờ. Tìm thể tích hồ lớn nhất.

Đội Key Stage II áo trắng đấu đội áo đen, vị trí như hình. Chuyền theo tám hướng hàng, cột hoặc chéo tới đồng đội đầu tiên trên đường, không xuyên đối thủ. Bắt đầu ở thủ môn trắng bên phải, cho mỗi cầu thủ trắng chạm bóng một lần rồi sút vào khung thành trái.

Số đối xứng đọc xuôi, ngược giống nhau. Có bao nhiêu cặp không xét thứ tự gồm hai số đối xứng bốn chữ số có tổng là số đối xứng năm chữ số? Ví dụ $2882+9339=12221$.

Điền $1$–$7$ vào ô mũi tên trống, giữ $0$, $8$. Mũi tên ô chứa $k$ phải chỉ theo hàng hoặc cột tới ô $k+1$, có thể qua một ô khác. Cho hình hoàn chỉnh.

Chữ số dùng mẫu sáu ô như hình. Mỗi chữ số trong phép trừ ba chữ số chỉ còn thấy một ô. Hiệu ba chữ số lớn nhất có thể là bao nhiêu?

Sáu làng cách đều trên đường, đạp xe giữa hai làng kề mất một giờ. Người phát thư tùy sắp sáu gói; xe đưa tới làng đầu, đón sau làng cuối. Mỗi giờ đạp xe được $20000$ rupiah. Tiền công ngày lớn nhất bao nhiêu?

Có bao nhiêu cách viết $90$ thành tổng ít nhất hai số nguyên dương liên tiếp?