IMC 2011 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Tìm mọi nghiệm thực của $x^2-x+1=(x^2+x+1)(x^2+2x+4)$.

Mười bảy quân domino $1\times2$ phủ bảng $5\times8$ trừ sáu ô. Ba ô trống có vòng trắng trong hình; hai ô vòng đen được phủ. Ba ô trống kia cùng một cột dọc. Đó là cột nào?

Điền mỗi số $1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13,14$ một lần vào các ô trống. Mũi tên từ ô không phải hướng tới ô một, từ ô một tới ô hai, v.v. Các ô cho sẵn chứa không, tám, mười lăm.

Hình cho bảng $5\times8$ có hai ô đánh dấu và hai bảng con $3\times4$ ví dụ chứa cả hai. Có bao nhiêu bảng con hình chữ nhật kích thước bất kỳ chứa ít nhất một ô đánh dấu?

Ba đại lộ rộng mười lăm, mười bốn, mười ba mét gặp nhau ở Tam giác Đỏ ngoài Moskva. Ba cổng quay gắn tại các giao điểm A, B, C. Như hình, A và B đóng một đại lộ, C đẩy sang bên để thông hai đại lộ kia. Tìm độ dài ba cổng nếu mỗi cặp đóng vừa một đại lộ.

$f(x)$ bậc hai nghìn mười và $f(k)=-2/k$ tại hai nghìn mười một số nguyên dương đầu $k$. Tìm $f(2012)$.

Mèo xếp tám mươi mốt chuột thành vòng, đánh số một đến tám mươi mốt theo chiều kim đồng hồ. Đếm “một, hai, ba” cùng chiều, ăn chuột thứ ba, tiếp tục đến còn hai. Nếu số lớn hơn trong hai chuột sống là bốn mươi, bắt đầu đếm ở chuột số nào?

Trong tam giác $ABC$, $BC=AC$ và $\angle BCA=90^\circ$. Các điểm $D,E$ lần lượt nằm trên $AC,AB$, với $AD=AE$ và $2CD=BE$. Gọi $P$ là giao điểm của $BD$ với phân giác $\angle CAB$. Tìm số đo $\angle PCB$ theo độ.

Tô hai mươi mốt trong bốn mươi chín ô của bảng $7\times7$ sao cho không có bốn ô tô tạo thành bốn ô góc của bất kỳ bảng con nào.

Arie, Bert, Caroline chỉ biết số nguyên dương riêng $a,b,c$, và được báo $1/a+1/b+1/c=1$. Hỏi: (một) Biết $a+b+c$ không? (hai) Biết cả ba giá trị không? Arie trả lời không cả hai. Bert nghe và trả lời có câu một, không câu hai. Caroline nghe tất cả. Cô trả lời thế nào?