Câu hỏi 5
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat B\lt \widehat A\lt 90^\circ$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $S$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Xét $R$ là một điểm thay đổi nằm bên trong tam giác $SAB$ sao cho $\widehat{ASR}=\widehat{BSR}$. Trên các đường thẳng $AR,BR$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $BE$ và $AF$ cùng song song với $RS$. Giả sử $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại các điểm $H,K$. Trên đoạn $AB$, lấy các điểm $M,N$ sao cho $\widehat{AHM}=\widehat{BHI}$ và $\widehat{BKN}=\widehat{AKI}$.
(a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ thuộc một đường thẳng cố định.
(b) Trên $BE,AF$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE,SF$ cắt lại đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $U,V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ với $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
(a) Chứng minh rằng tâm $J$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMN$ thuộc một đường thẳng cố định.
(b) Trên $BE,AF$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $CP$ song song với $SE$ và $DQ$ song song với $SF$. Các đường thẳng $SE,SF$ cắt lại đường tròn $(O)$ theo thứ tự tại $U,V$. Gọi $G$ là giao điểm của $AU$ với $BV$. Chứng minh rằng đường trung tuyến đỉnh $G$ của tam giác $GPQ$ luôn đi qua một điểm cố định.