Câu hỏi 6
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có các đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. Gọi $G$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$. Kẻ các đường kính $EK,FL$ của các đường tròn $(GHE),(GHF)$.
(a) Giả sử $AK,AL$ lần lượt cắt $DE,DF$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $UV\parallel EF$.
(b) Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. Gọi $T$ là giao điểm của $DS$ với $HG$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $TE,TF$. Chứng minh rằng $M,N,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.
Lưu ý biên tập: nguồn thiếu một điều kiện để phép dựng ở câu (b) xác định. Ngay với tam giác nhọn không cân, $DS$ và $HG$ có thể song song, nên chưa chắc tồn tại $T$. Lời giải dưới đây chứng minh kết luận khi giao điểm này hữu hạn; một phản ví dụ đã kiểm tra đầy đủ về sự tồn tại tự động của $T$ được trình bày sau chứng minh. Phát biểu nguồn không bị âm thầm sửa đổi.
(a) Giả sử $AK,AL$ lần lượt cắt $DE,DF$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $UV\parallel EF$.
(b) Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $S$. Gọi $T$ là giao điểm của $DS$ với $HG$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $TE,TF$. Chứng minh rằng $M,N,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.
Lưu ý biên tập: nguồn thiếu một điều kiện để phép dựng ở câu (b) xác định. Ngay với tam giác nhọn không cân, $DS$ và $HG$ có thể song song, nên chưa chắc tồn tại $T$. Lời giải dưới đây chứng minh kết luận khi giao điểm này hữu hạn; một phản ví dụ đã kiểm tra đầy đủ về sự tồn tại tự động của $T$ được trình bày sau chứng minh. Phát biểu nguồn không bị âm thầm sửa đổi.