Câu hỏi 6
Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp \((O)\). Đường tròn bàng tiếp góc \(A\), ký hiệu \((J)\), tiếp xúc các đường thẳng \(BC,CA,AB\) tại \(D,E,F\).
(a) Gọi \(L\) là trung điểm \(BC\). Đường tròn đường kính \(LJ\) cắt lại \(DE,DF\) tại \(K,H\). Chứng minh \((BDK)\) và \((CDH)\) có điểm chung khác \(D\) thuộc \((J)\).
(b) Giả sử \(G=EF\cap BC\), đường thẳng \(GJ\) cắt \(AB,AC\) tại \(M,N\). Lấy \(P\) trên đường thẳng \(JB\), \(Q\) trên đường thẳng \(JC\) sao cho \(AP\perp AB\), \(AQ\perp AC\). Đặt \(T=PM\cap QN\). Gọi \(S\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\) của \((O)\), và \(I\) là tâm nội tiếp. Chứng minh \(SI\) cắt \(AT\) tại một điểm trên \((O)\).
Điều kiện bổ sung công khai: các đường thẳng, giao điểm thứ hai và đường tròn được dùng phải xác định, không suy biến. Chỉ giả thiết tam giác nhọn chưa bảo đảm điều này, kể cả trong câu (a). Lời giải nêu phản ví dụ cụ thể cho miền xác định chưa hạn chế của bản in.
(a) Gọi \(L\) là trung điểm \(BC\). Đường tròn đường kính \(LJ\) cắt lại \(DE,DF\) tại \(K,H\). Chứng minh \((BDK)\) và \((CDH)\) có điểm chung khác \(D\) thuộc \((J)\).
(b) Giả sử \(G=EF\cap BC\), đường thẳng \(GJ\) cắt \(AB,AC\) tại \(M,N\). Lấy \(P\) trên đường thẳng \(JB\), \(Q\) trên đường thẳng \(JC\) sao cho \(AP\perp AB\), \(AQ\perp AC\). Đặt \(T=PM\cap QN\). Gọi \(S\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\) của \((O)\), và \(I\) là tâm nội tiếp. Chứng minh \(SI\) cắt \(AT\) tại một điểm trên \((O)\).
Điều kiện bổ sung công khai: các đường thẳng, giao điểm thứ hai và đường tròn được dùng phải xác định, không suy biến. Chỉ giả thiết tam giác nhọn chưa bảo đảm điều này, kể cả trong câu (a). Lời giải nêu phản ví dụ cụ thể cho miền xác định chưa hạn chế của bản in.