Câu hỏi 1
Cho tam giác nhọn không cân \(ABC\). Gọi \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CA,AB\), và \(O,O'\) là tâm ngoại tiếp, tâm đường tròn Euler. Điểm \(P\) nằm trong tam giác \(DEF\). Các đường thẳng \(DP,EP,FP\) cắt lại đường tròn Euler tại \(D',E',F'\). Gọi \(A',B',C'\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(A,B,C\) qua \(D',E',F'\).
(a) Nếu \(PO=PO'\), chứng minh đường tròn \((A'B'C')\) đi qua \(O\).
(b) Gọi \(X,Y,Z\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(A',B',C'\) qua \(OD,OE,OF\). Với \(H\) là trực tâm, đặt \(M=HX\cap BC\), \(N=HY\cap CA\), \(K=HZ\cap AB\). Chứng minh \(M,N,K\) thẳng hàng.
Chú thích miền xác định: câu (b) của bản in cho phép những vị trí mà đường thẳng hoặc giao điểm cần dùng không tồn tại. Lời giải dưới đây xét các cấu hình có các giao điểm hữu hạn, xác định; phần lời giải nêu một ngoại lệ cụ thể.
(a) Nếu \(PO=PO'\), chứng minh đường tròn \((A'B'C')\) đi qua \(O\).
(b) Gọi \(X,Y,Z\) lần lượt là các điểm đối xứng của \(A',B',C'\) qua \(OD,OE,OF\). Với \(H\) là trực tâm, đặt \(M=HX\cap BC\), \(N=HY\cap CA\), \(K=HZ\cap AB\). Chứng minh \(M,N,K\) thẳng hàng.
Chú thích miền xác định: câu (b) của bản in cho phép những vị trí mà đường thẳng hoặc giao điểm cần dùng không tồn tại. Lời giải dưới đây xét các cấu hình có các giao điểm hữu hạn, xác định; phần lời giải nêu một ngoại lệ cụ thể.