Câu hỏi 5
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $AD,BE,CF$ lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác. Trên các đường thẳng $AD,BE,CF$ lần lượt lấy các điểm $L,M,N$ sao cho
$$\frac{AL}{AD}=\frac{BM}{BE}=\frac{CN}{CF}=k$$
($k$ là hằng số dương). Gọi $(O_1),(O_2),(O_3)$ lần lượt là các đường tròn đi qua $L$, tiếp xúc với $OA$ tại $A$; đi qua $M$, tiếp xúc với $OB$ tại $B$ và đi qua $N$, tiếp xúc với $OC$ tại $C$.
1. Chứng minh rằng với $k=\frac12$, ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ có đúng hai điểm chung và đường thẳng nối hai điểm đó đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.
2. Tìm tất cả các giá trị $k$ sao cho ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ có đúng hai điểm chung.
$$\frac{AL}{AD}=\frac{BM}{BE}=\frac{CN}{CF}=k$$
($k$ là hằng số dương). Gọi $(O_1),(O_2),(O_3)$ lần lượt là các đường tròn đi qua $L$, tiếp xúc với $OA$ tại $A$; đi qua $M$, tiếp xúc với $OB$ tại $B$ và đi qua $N$, tiếp xúc với $OC$ tại $C$.
1. Chứng minh rằng với $k=\frac12$, ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ có đúng hai điểm chung và đường thẳng nối hai điểm đó đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.
2. Tìm tất cả các giá trị $k$ sao cho ba đường tròn $(O_1),(O_2),(O_3)$ có đúng hai điểm chung.