VMO 2008 — Kỳ thi quốc gia

Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn $x,y$) sau:
$$\begin{cases}x^2+y^3=29,\\[3pt]\log_3x\cdot\log_2y=1.\end{cases}$$

Cho tam giác $ABC$ có góc $BEC$ là góc nhọn, trong đó $E$ là trung điểm của $AB$. Trên tia $EC$ lấy điểm $M$ sao cho $\angle BME=\angle ECA$. Ký hiệu $\alpha$ là số đo của góc $BEC$, hãy tính tỉ số $MC/AB$ theo $\alpha$.

Đặt $m=2007^{2008}$. Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên $n$ mà $n\lt m$ và $n(2n+1)(5n+2)$ chia hết cho $m$?

Cho dãy số thực $(x_n)$ được xác định như sau: $x_1=0$, $x_2=2$ và
$$x_{n+2}=2^{-x_n}+\frac12\qquad(n=1,2,3,\ldots).$$
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$. Hãy tìm giới hạn đó.

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số gồm tối đa $2008$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$?

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
$$(xy+yz+zx)\left(\frac1{(x-y)^2}+\frac1{(y-z)^2}+\frac1{(z-x)^2}\right)\ge4.$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?

Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AD$. Cho đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $AD$. Xét điểm $M$ nằm trên đường thẳng $d$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $MB,MC$. Đường thẳng đi qua $E$ và vuông góc với đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$, đường thẳng đi qua $F$ và vuông góc với đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định, khi $M$ di động trên đường thẳng $d$.